Tensión en el condensador

Question

Estoy aprendiendo a encontrar las caídas de tensión a través de los condensadores en un circuito de corriente continua. Todos sabemos que el condensador se carga hasta igualar la tensión de entrada (suponiendo que la carga inicial del condensador es cero). Si se aplica una tensión continua

Para el circuito anterior Vc= Vs(1-exp(-t/rc))

Ahora consideré un circuito poco complejo algo como lo siguiente.

Aquí el condensador no está conectado directamente a una fuente de tensión. Después de buscar en Google encontré que el circuito puede ser resuelto considerando el condensador como una carga y encontrando el Voc y Rth utilizando el teorema de Thevenin (o su dual teorema de Norton). Ahora el valor R en la constante de tiempo se sustituye por el valor Rth y la tensión Vs por la tensión Vth.

Finalmente la tensión a través del condensador, Vc= Vth(1-exp(-t/RthC))

Ahora consideré un circuito más complejo. Supongamos que el circuito consta de más de un condensador en el circuito. Algo como lo siguiente.

Ahora estoy atrapado aquí. ¿Cómo puedo resolver los voltajes a través de los condensadores C1 y C2.

Me pregunto cuáles serían las ecuaciones de tensión del condensador para ambos condensadores. Si hay un solo condensador, utilizamos el teorema de Thevinin, pero ¿cómo puedo resolver si tengo más de un condensador en los circuitos de CC.

Vc1= Vunknown1(1-exp(-t/Runknown1 C1) Vc2= Vunknown2(1-exp(-t/Runknown2 C2)

¿Cómo puedo resolver Vunknown1, Vunknown2, Runknown1 y Runknown2? Podría alguien explicarme amablemente. ¿Cómo puedo resolver si nos encontramos con este tipo de circuitos? Por favor, ayúdenme con esto.

Answer 1

Resolver ckt#3 de la manera más difícil usando ecuaciones diferenciales:

Para empezar, estas ecuaciones siempre se mantiene, para cualquier condensador $$i = CdV/dt$$

En el circuito que has proporcionado, tenemos dos tensiones desconocidas (V1 a través de C1 y V2 a través de C2). Se pueden resolver aplicando las leyes de corriente de Kirchoff en los dos nodos.

Para el nodo V1: $$ (V_s-V_1)/R_1 = C_1 dV_1/dt + (V_1-V_2)/R_2 $$

Y para el nodo V2: $$ (V_1-V_2)/R_2 = C_2 dV_2/dt $$

Ahora tenemos dos ecuaciones diferenciales en dos incógnitas. Resuelve las dos simultáneamente y obtendremos las expresiones para V1 y V2. Una vez calculadas V1 y V2, el cálculo de las corrientes a través de las ramas es trivial.

Por supuesto, la resolución de ecuaciones diferenciales no es trivial, por lo que generalmente utilizamos la transformada de Laplace o la transformada de Fourier para convertirlas en simples ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia, resolver las incógnitas y, a continuación, hacer la transformada inversa de Laplace/Fourier para devolver las incógnitas al dominio del tiempo.

Método 2: Utilizar la regla del divisor de tensión:

Si recordamos que la impedancia a través de un condensador C es $$Z=1/jwC$$ y denotando las impedancias de los dos condensadores C1 y C2 como Z1 y Z2, podemos calcular V2 utilizando la fórmula de división de la tensión a través de dos impedancias ( http://en.wikipedia.org/wiki/Voltage_divider ): $$V_2 = V_1 R_2/(R_2 + Z_2)$$ V1 también se puede calcular con la misma regla, el único problema es que la impedancia del lado derecho del nodo 1 es un poco compleja: es la combinación en paralelo de Z1 y (R2 + Z2). V1 se convierte ahora en $$V_1 = V_s (Z_1*(R_2+Z_2)/(Z_1+R_2+Z_2))/(R_1 + (Z_1*(R_2+Z_2)/(Z_1+R_2+Z_2)))$$

Lo que hay que hacer a continuación es expandir Z1 y Z2 utilizando la fórmula de impedancia capacitiva, para obtener V1 y V2 en términos de w. Si necesitas la respuesta temporal completa de las variables, puedes hacer transformadas inversas de Fourier y obtener V1 y V2 como funciones del tiempo. Sin embargo, si sólo necesitas el valor final (en estado estacionario), sólo tienes que poner $$w=0$$ y evaluar V1 y V2.

Una forma más sencilla:

Este método sólo puede dar los valores finales en estado estacionario, pero es un poco práctico para los cálculos rápidos. El problema es que una vez que el circuito se ha establecido en un estado estacionario, la corriente a través de cada condensador será cero. Tomemos como ejemplo el primer circuito (el RC simple). El hecho de que la corriente a través de C sea cero dicta que la corriente a través de R (y por tanto la caída de tensión a través de él) también sea cero. Por lo tanto, la tensión a través de C será igual a Vs.

Para el segundo circuito, toda la corriente debe pasar por el camino R1->R2->R3 si el condensador no consume corriente. Esto significa que la tensión a través de C (igual a la tensión a través de R2) es $$V_s R_2 / (R_1 + R_2 + R_3)$$

En el último circuito, el hecho de que la corriente a través de C2 sea igual a cero implica que la corriente a través de R2 sea cero (y por tanto cualquier caída de tensión a través de él). Esto significa que cualquier corriente que fluya debe tomar el camino R1->C1. Sin embargo, la corriente a través de C1 también es cero, lo que significa que R1 tampoco lleva corriente. Así que ambos voltajes V1 y V2 serán iguales a Vs en estado estacionario

Answer 2

La forma más sencilla de resolver este problema sería poner el circuito en el dominio de laplace o de la frecuencia. En el dominio de la frecuencia la variable dependiente es la frecuencia en lugar del tiempo. Hay valores equivalentes para cada una de las características del circuito.

L -> LS

C -> 1/Cs

R -> R

v(t) -> V(S)

y así sucesivamente...

Sustitúyelos en el diseño de tu circuito y podrás utilizar las técnicas básicas de análisis de circuitos, teniendo en cuenta las restricciones de conexión. También puedes encontrar un circuito equivalente a la vena como antes.

Sin embargo, es importante tener en cuenta que para convertir las funciones resultantes en algo que puedas utilizar tendrás que preformar una transformación la'place inversa. Te sugiero que busques una tabla de identidades e intentes que tu función se parezca a las identidades mediante manipulación algebraica.

Si tienes tiempo, esta es una gran habilidad para aprender y simplificará el análisis de circuitos que tendrías que hacer en futuras aplicaciones.

Answer 3

En mi opinión, si estás familiarizado con el análisis de circuitos mediante ecuaciones de bucle y transformadas de Laplace, sería la mejor opción. El análisis de circuitos mediante transformadas de Laplace tiene la misma potencia que el que utiliza ecuaciones diferenciales clásicas, pero es mucho más sencillo.

Ahora para aplicar directamente la transformada de Laplace utilizamos

1) X_L( Impedancia del inductor ) como sL

2) X_C(Impedancia del condensador ) como 1/ (sC)

3) R ( Resistencia ) como es

todo ello suponiendo condiciones iniciales nulas.

Para su problema, suponiendo que las corrientes en ambas espiras son en el sentido de las agujas del reloj;

V(s) = I1( R1 + 1/sC1) - I2( 1/sC2) -------loop1

0 = I1( 1/sC1) - I2( 1/(sC1) + R2 + 1/(sC2))---bucle 2

Dos ecuaciones para dos incógnitas. La respuesta para I1 e I2 estaría en el dominio s. Así que toma la transformada inversa de Laplace. Una vez que tenemos las corrientes, los voltajes son fáciles de encontrar también.

Alternativamente, el método de los nodos puede aplicarse directamente para obtener tensiones.