Es el conjunto $\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^{2/3}+y^{2/3}\le1\}$ conectado?

Question

Es el conjunto $\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^{2/3}+y^{2/3}\le1\}$ conectado?

Por favor me ayude. Estoy despistado.

Agregado: Es el conjunto convexo?

Answer 1

Si $(x, y)$ está en el conjunto, entonces también lo son los puntos de $(kx, ky)$ todos los $0 \le k \le 1$. Es decir, la recta al origen. Así que el conjunto está conectado.

Answer 2

Sugerencia: $B_{2/3}\stackrel{\rm{}def}{=}\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^{2/3}+y^{2/3}\le 1\}$ es equivalente al conjunto \begin{align*} B_{2/3} &= \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid |x|^{2/3}+|y|^{2/3}\le 1\} = \{ {x}\in\mathbb{R}^2 \mid \lVert {x} \rVert_{2/3}^{2/3} \leq 1 \} \\ &= \{ {x}\in\mathbb{R}^2 \mid \lVert {x} \rVert_{2/3} \leq 1 \} \end{align*} que es la unidad de la bola para un $p$-norma (donde $p\stackrel{\rm{}def}{=}\frac{2}{3}$). Esto debería resolver el problema de si se está conectado.

PS: usted puede ver lo que parece en esta página.