¿Qué podemos decir de un espacio de Hausdorff localmente compacto cuyo subconjunto abierto es sigma compacto? ¿Podemos decir que es metrizable o segundo contable?
gracias
No podemos decir ninguna de las dos cosas. Un contraejemplo clásico (debido a Alexandroff y Urysohn) es el llamado espacio de la doble flecha ( descripción aquí ; creo que en Counterexamples in Topology se llama la topología de la Línea Paralela Débil), que es un espacio compacto de Hausdorff (está ordenado incluso) y perfectamente normal. Esto último implica que todos los subconjuntos abiertos son $F_\sigma$ y por lo tanto $\sigma$ -compacto en particular. Pero no es contable en segundo lugar (y por lo tanto no es metrizable) ya que, por ejemplo, la mitad superior contiene (una copia homeomórfica de) la línea de Sorgenfrey.
Cómo demostrar explícitamente que "la mitad superior contiene (una copia homeomórfica de) la línea de Sorgenfrey".
@Jale'dejaled Mira los intervalos abiertos con el punto final izquierdo abajo y el derecho arriba, y mira cómo es su intersección con la mitad superior... Se deduce que la mitad superior abierta $(0,1) \times \{1\}$ es homeomorfo a la línea de Sorgenfrey.. También se señala en el secription que he enlazado aquí ...
Sí intuitivamente tiene perfecto sentido, pero explícitamente no puedo demostrar el homeomorfismo en primer lugar no todos los conjuntos abiertos tienen la forma como $((a, b] \times\{0\}) \cup([a, b) \times\{1\})$ Juego con homeomorfismos como $f(x\times \{1\})=x$ La continuidad y la biyección parecen estar bien, pero ¿qué tal si $f^{-1}$ ¿es continua?
He investigado esta cuestión de la siguiente manera. Supongamos que $X$ es un espacio de Hausdorff localmente compacto cuyo subconjunto abierto es $\sigma$ -compacto. Entonces la compactación de Alexandroff $\alpha X$ debe ser un espacio Hausdorff compacto cuyo subconjunto abierto es $\sigma$ -compacto. Un espacio cuyo subconjunto abierto es $F_\sigma$ se llama perfecto. Se sabe que un espacio Hausdorff compacto con un cuadrado perfecto (incluso con un $G_\delta$ -diagonal) es metrizable (véase, por ejemplo, [Gru, 2.13]). Intenté demostrar o encontrar un teorema que afirmara que cada espacio perfecto compacto de Hausdorff es metrizable y por fin encontré un artículo [John], que puede contener un ejemplo diferente del espacio de Doble Flecha.
Y tampoco podemos decir que $X$ es metrizable, podemos decir algunas cosas sobre ella sabiendo que $X$ es un espacio compacto perfecto sin un punto.
Supongamos que $X$ tiene un $G_\delta$ -diagonal. Parece lo siguiente. Existe una familia contable $\mathcal F$ de subconjuntos cerrados de $\alpha X$ tal que $\bigcup\mathcal F\cap (X\times X)=\Delta\backslash\{(\alpha,\alpha)\}$ , donde $\Delta$ es una diagonal del espacio $\alpha X$ . También hay una familia contable familia $\mathcal F_X$ de subconjuntos cerrados del espacio $\alpha X$ tal que $\bigcup\mathcal F_X=\alpha X\backslash\{\alpha\}$ . Poner $\mathcal F'=\{F\cap F_1\times F_2:F\in\mathcal F, F_1,F_2\in\mathcal F_X\}\cup \{F\times\{\alpha\}\cup \{\alpha\}\times F:F\in\mathcal F_X\}$ . Entonces $\bigcup\mathcal F'=\Delta\backslash \{(\alpha,\alpha)\}$ y, por tanto, el espacio $\alpha X$ es metrizable.
Referencias
[Gru] Gary Gruenhage, Espacios métricos generalizados , en K. Kunen y J. E. Vaughan, Handbook of set theoretic topology, Elsevier, 1984.
Roy A. Johnson. Un espacio compacto no metrizable en el que cada subconjunto cerrado es un G-Delta . The American Mathematical Monthly, Vol. 77, No. 2, pp. 172-176.
No. Los contraejemplos pueden verse en las respuestas anteriores.
Sin embargo, podemos concluir que $X$ es hereditario de Lindelöf.
Lema 1: $X$ es un espacio hereditario de Lindelöf si y sólo si todos los subespacios abiertos de $X$ tienen la propiedad de Lindelöf).
Prueba: En primer lugar hay que tener en cuenta que $X$ es $\sigma$ -compacto y por lo tanto es Lindelöf . Obsérvese que todo conjunto abierto de $X$ también es $\sigma$ -compacto, y por tanto todo conjunto abierto es también Lindelöf. Por tanto, $X$ es un hereditario Lindelöf espacio.
Si $X$ tiene algunas condiciones, por ejemplo, $X$ tiene un $G_\delta$ -diagonal, tal que $X$ es localmente metrizable . Un espacio de Lindelöf localmente metrizable es metrizable , ver Arhangel'skii A V, Buzyakova R Z. On some properties of linearly Lindelöf spaces[C]//Topology Proc. 1998, 23: 1-11.. Así que $X$ es una metrizable de Lindelöf, y por tanto $X$ también es segundo contable.
Algunas notas:
De hecho, hay un resultado más agradable del papel.
Un localmente metrizable $\omega_1$ -Lindelöf es metrizable. $\omega_1$ -Lindelöf es una propiedad más débil que Lindelöf.
Lindelöf y la segunda contable son equivalentes en los espacios metrizables.
$X$ es un espacio hereditario de Lindelöf si y sólo si todos los subespacios abiertos de $X$ tienen la propiedad de Lindelöf. Se puede ver la topología general por Engelking Página 194.
No necesitas el resultado de Arhangel'skii & Buzyakova. $X$ es $T_3$ y Lindelöf, por lo que es paracompacto. El teorema de metrización de Smirnov dice que un espacio $Y$ es metrizable si $Y$ es localmente metrizable y paracompacto, por lo que $X$ es metrizable.
Es no localmente metrizable, como muestra la Flecha Doble. Esto es incluso compacto. Si los espacios de Lindelöf hereditarios localmente compactos fueran localmente metrizables, podríamos demostrar que ZFC no tiene compactos $L$ -(y se demostraría la hipótesis de Suslin, etc.). Véase mi contraejemplo a la pregunta original.
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