¿Por qué Son Estos Dos Morfismos de la Misma?

Question

Estoy leyendo Max Karoubi del "K-Teoría" y creo que estoy con vistas a algún hecho trivial. Tenemos un vector paquete de $E\rightarrow X$ y un morfismos $p:E\rightarrow E$$p^2=p$. Él está mostrando que $\ker p$ es localmente trivial. La primera asume que el $E=X\times V$ para un espacio vectorial $V$. Aquí es donde estoy atascado:

Él define a $f:X\longrightarrow \operatorname{End}(V)$ por

$$ f(x)=1-p_{x_0}-p_x+2p_xp_{x_0}, $$

donde $p_x$ es la restricción de $p$ a la fibra a $x$ $x_0$ es un punto de base. El reclamo es que el $p_{x_0}\circ f(x)=f(x)\circ p_x$. Cuando me calcular ambos lados puedo conseguir

$$ 2p_{x_0}p_xp_{x_0}-p_{x_0}p_x=2p_{x}de {p_{x_0}p_{x}-p_{x_0}p_x $$

que dice

$$ 2p_{x_0}p_xp_{x_0}=2p_{x}de {p_{x_0}p_{x}. $$

¿Por qué es eso cierto? Gracias.

Answer 1

Eso es probablemente un error tipográfico. Intente $p_x f(x)= f(x) p_{x_0}$ o, alternativamente, $f(x)=1-p_{x_0}-p_x +2 p_{x_0} p_{x}$ en el resto de la prueba (que no veo).

Como dado, la igualdad no es cierto. Creo que de 2 líneas, a decir de pendiente 2 y 1/2, en R^2 y las proyecciones a lo largo de los vectores (0,1) y (1,0). A continuación, la imagen de la primera composición es de todos los de la primera línea, y de la segunda, todos los de la segunda línea. De ninguna manera este tipo de mapas puede ser igual.