La curvatura de la Cónica espacio-tiempo

Question

Inspirado por: Angular déficit
El 2+1 el espacio-tiempo es más fácil para mí para visualizar, así que vamos a usar aquí. (así que supongo que la radiación cósmica de cadena de ahora es sólo un 'punto' en el espacio, sino una 'línea' en el espacio-tiempo) Edward dice que es posible cortar un trozo de un plano espacio-tiempo y pegamento a los bordes juntos. Así que en mi mente esto se parece a un cono de papel.

Estoy teniendo problemas para entender por qué esto es plana en todas partes, excepto en la punta del cono. Imagine un triángulo en el original en papel, y ahora, después de piecing juntos, no un observador cree que las líneas son ahora la curva? Y en piecing juntos, no hay ahora otro ángulo, por lo que es un polígono de 4 lados y los ángulos externos no agregar correctamente hasta 360 grados más?

Yo estoy muy confundido porque Edward y Lubos decir que el espacio-tiempo es plano en todas partes, excepto en el centro, por lo que la Riemann tensor de curvatura es cero en todas partes, excepto en el centro, pero Lubos dice un paralelo transportados vector en torno a una ruta de acceso en este plano espacio-tiempo puede cambiar el ángulo de visión!? ¿Significa esto que no podemos describir el transporte paralelo de un vector con el local de curvatura de Riemann?

Espero haber dicho lo suficiente que alguien con conocimientos puede ver lo que me confunde y me puede ayudar a entender. Si una pregunta clara es necesario, a continuación, deje que sea esto:
¿Cómo podemos calcular explícitamente la curvatura, y el efecto que esto tiene en los ángulos de las trayectorias o los vectores, cónicas espacio-tiempo?

El 'pegar plano espacio-tiempo pedazos juntos' proceso parece muy sospechoso para mí.

ACTUALIZACIÓN:
Bueno, gracias a Ted y Edward me dieron más de lo imaginado (aunque mi intento, no podía decir nada acerca de la curvatura de la 'pico' en el centro)', pero todavía no puede averiguar cómo ver el transporte paralelo de un vector en un bucle cerrado ala Lubos del comentario. Sería bueno para ver esta última parte fue para un arbitrario de bucle.

En particular, la de Ted comentario "que (en algunos adecuadamente definidos por el sentido) el promedio de curvatura en el interior del triángulo es distinto de cero. En este caso particular, de que el promedio proviene enteramente de una curvatura "spike" en el origen". suena como puede ser una manera fácil de transferir la integral alrededor de una ruta de acceso a una integral sobre el área delimitada por el camino, ala de Gauss-Bonnet, pero el integral me estoy poniendo ni siquiera parece como una integral normal y yo no entiendo muy bien lo de Gauss-Bonnet es decir físicamente.

Puede alguien trabajar de este último pedacito de manera explícita, y si usas algo como el de Gauss-Bonnet tal vez ayudar a explicar qué es la matemática nos está diciendo acerca de la física aquí?

Answer 1

Imagine un triángulo en el original de papel, y ahora, después de armando juntos, no un observador pensar las líneas son ahora la curva?

La respuesta es no: líneas que fueron directamente en el documento original se sigue recto una vez que se ha realizado en un cono. Una forma de ver por qué es escribir las cosas de manera explícita en coordenadas polares. Deje $(r,\phi)$ ser las coordenadas polares de un punto en el papel, antes de que se haya doblado en forma de cono. Poner el origen en el vértice del cono. La falta de cuña del papel significa que sólo los ángulos de 0 a $2\pi-\alpha$ existen en el papel, donde el $\alpha$ es el "ángulo de déficit". Una vez que haya doblado el papel hasta formar un cono, los puntos con $\phi=0$ serán identificados con puntos de con $\phi=2\pi-\alpha$.

En el plano del papel, la distancia entre dos puntos cercanos es $$ ds^2=dr^2+r^2\,d\phi^2. $$ Para entender por qué el cono tiene una geometría plana, la observación clave es que esta relación se mantiene después de haber doblado el papel en forma de un cono. Que no puede ser intuitivamente obvio, pero usted puede convencerse de que es cierto. De una manera, que es desordenado pero completamente rigurosa, es escribir la correspondencia entre las $(r,\phi)$ sobre el documento original y las coordenadas en el espacio 3-D en el cono, a continuación, aplicar la habitual fórmula de la distancia. La mejor manera es hacer un dibujo de un pequeño triángulo rectángulo en el plano del papel, con los lados $dr, r\,d\phi,ds$, y, a continuación, dibuje la imagen de nuevo en el cono-ified de papel. Usted puede convencerse de que los lados del triángulo que no cambian, y que todavía es un triángulo rectángulo, por lo que está hecho.

El hecho de que la ecuación anterior tiene por tanto el documento original y el cono es todo lo que necesita saber para asegurarse de que la geometría del cono es plana, y que las líneas rectas en un mapa en líneas rectas en el otro. Por ejemplo, supongamos que tenemos un camino que une dos puntos de $(r_1,\phi_1)$$(r_2,\phi_2)$. La longitud de la ruta es simplemente la integral de $ds$ a lo largo de esa ruta. Que la integral será exactamente el mismo antes y después de doblar el papel para formar un cono. Por lo tanto, el camino que era más corto antes de cono-ifying también será el camino más corto después.

En general, usted sólo tiene curvatura si usted tiene a la "deformación" o "estirar" el papel. Cuando se forma un cono, usted no tiene que hacer eso, en cualquier lugar excepto en el vértice.

Si quieres ir más allá y calcular la curvatura, que necesita la maquinaria de la geometría de Riemann. Si usted piensa más como un físico que a un matemático, a continuación, me gustaría recomendar el aprendizaje que a partir de una teoría general de la relatividad libro. Me gusta la de Schutz y el uno por Hartle para un primer paso por el sujeto. Todo lo que diré aquí es que hay una completamente bien especificado algoritmo para traducir el "elemento" -- es decir, la expresión de $ds^2$ en términos de las coordenadas, en un objeto matemático llamado el tensor de curvatura, que en dos dimensiones se reduce a un solo número conocida como la curvatura.

Answer 2

Aquí está mi intento, espero que la gente pueda aprender de mis errores o algo (por favor, dejar comentarios, para que yo pueda aprender más)

A partir de la sugerencia, me centraré en 2+0 espacio. El transporte paralelo suena como que puede ser obtenido a partir de los símbolos de Christoffel, y a su vez la curvatura de Riemann tensor puede ser calculada a partir de los símbolos de Christoffel. Así que voy a tratar de calcular los que están aquí (en detalle sangriento para tratar de conseguir una sensación para los cálculos).

Tomar una pieza plana de papel, corte una $\alpha$ grado de cuña de ella y la pieza de los bordes juntos. Este es el "cono de espacio" para esta discusión.

La línea de elemento puede ser escrita como:
$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2$$ para $0 \le r < \infty$ $0 \le \theta \le 2\pi - \alpha$
alternativamente, podemos elegir una escala de ángulo, de modo que $k \phi=\theta, k=1 -\alpha/2\pi$ dando el elemento line en estas coordenadas
$$ds^2 = dr^2 + r^2 k^2 d\phi^2$$ para $0 \le r < \infty$ $0 \le \phi \le 2\pi$

$g_{00}=1,g_{11}=r^2k^2$

$$g_{mk,\ell} = \left\{ \begin{array}{ll} 2rk^2 &: m=k=1,\ell=0\\ 0 & : \mathrm{otherwise}\\ \end{array} \right.$$

El símbolo de Christoffel es (se define a ser?): $$\Gamma^i_{k\ell}={1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m})$$

El único no-cero componentes son: $$\Gamma^0_{11}= {1 \over 2} g^{00}(- g_{11,0}) = -rk^2$$ $$\Gamma^1_{10}=\Gamma^1_{01} = {1 \over 2} g^{11}g_{11,0} = {1 \over 2} \frac{1}{r^2k^2}2rk^2 = 1/r$$

El Reimann curvatura (que se define a ser?): $${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma} $$

Buscando en el (0,0,?,?) componentes

$$\begin{split} {R^0}_{0\mu\nu} &= \partial_\mu\Gamma^0_{\nu0} - \partial_\nu\Gamma^0_{\mu0} + \Gamma^0_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu0} - \Gamma^0_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu0} \\ &= \Gamma^0_{\mu1}\Gamma^1_{\nu0} - \Gamma^0_{\nu1}\Gamma^1_{\mu0} = 0 \end{split}$$

Mirando el (0,1,?,?) componentes

$$\begin{split} {R^0}_{1\mu\nu} &= \partial_\mu\Gamma^0_{\nu1} - \partial_\nu\Gamma^0_{\mu1} + \Gamma^0_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu1} - \Gamma^0_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu1} \\ &= \partial_\mu\Gamma^0_{\nu1} - \partial_\nu\Gamma^0_{\mu1} + \Gamma^0_{\mu1}\Gamma^1_{\nu1} - \Gamma^0_{\nu1}\Gamma^1_{\mu1} \\ {R^0}_{100} &= {R^0}_{111} = 0 \\ {R^0}_{101} &= \partial_0\Gamma^0_{11} - \Gamma^0_{11}\Gamma^1_{01} \\ &= -k^2 -(-k^2r)(1/r) = 0 \\ {R^0}_{110} &= - \partial_0\Gamma^0_{11} + \Gamma^0_{11}\Gamma^1_{01} \\ &= -(-k^2) +(-k^2r)(1/r) = 0 \end{split}$$

No tengo ganas de trabajar (1,0,?,?) componentes. Así que me voy a saltar el doble check y confiar sólo en la antisymmetry a (0,1,?,?).

Buscando en el (1,1,?,?) componentes

$$\begin{split} {R^1}_{1\mu\nu} &= \partial_\mu\Gamma^1_{\nu1} - \partial_\nu\Gamma^1_{\mu1} + \Gamma^1_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu1} - \Gamma^1_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu1} \\ &= (\Gamma^1_{\mu0}\Gamma^0_{\nu1} - \Gamma^1_{\nu0}\Gamma^0_{\mu1}) + (\Gamma^1_{\mu1}\Gamma^1_{\nu1} - \Gamma^1_{\nu1}\Gamma^1_{\mu1}) = 0 \end{split}$$

Así, en este sistema de coordenadas, todas las $dimension^4$ componentes del tensor de Riemann son cero. Así que esta es, de hecho, espacio plano.

Ahora a mirar en el transporte paralelo. Un vector es paralelo transportados si la derivada covariante es cero. $${\lambda^a}_{;b} = \partial_b \lambda^a+\Gamma^a_{cb}\lambda^c = 0$$

Para un paso infinitesimal $dx^b$, los nuevos componentes $\tilde{\lambda}^a$ $$\tilde{\lambda}^a = \lambda^a + \Gamma^a_{cb}\lambda^c dx^b = \lambda^c (\delta^a{}_c + \Gamma^a_{cb} \ dx^b)$$

Así que en lugar de una integral normal que es como una suma infinitesimal de piezas, necesitamos algo que hace una serie de infinitesimales multiplicaciones a lo largo de la ruta. Al parecer, esto se llama un producto integral.

Así que si tenemos un camino de $s^b(t),0\le t\le 1$, entonces creo que $$\tilde{\lambda}^a = \lambda^c \prod_{t=0}^{t=1} \left(\delta^a{}_c + \Gamma^a_{cb} \ \frac{\partial s^b(t)}{\partial t} dt\right)$$

Me gustaría ser capaz de verificar Lubos del comentario anterior de que esto es sólo la identidad de los trazados cerrados a menos que va alrededor del origen. No estoy seguro de cómo continuar, aunque.

Basado en Ted el comentario de que el angular déficit de alguna manera se relacionan con un promedio de la cerrada de la curvatura, tal vez hay algo de Gauss-Bonnet tipo de forma de hacer esto - en relación con una ruta de acceso integral a algunos integral sobre un área delimitada por el camino.

Answer 3

Para calcular explícitamente la curvatura geodésica y las ecuaciones de la forma cónica del espacio-tiempo que necesita un explícito métrica.

La métrica $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\phi^{2}$ describir una cónica espacio-tiempo en el rango de definición de las coordenadas $(r,\phi)\in (0,\infty)\times [0,2\pi-\alpha)$.

Usted puede notar que este indicador describe un plano espacio-tiempo en el dominio de definición, pero no incluye el "singular" punto de $(0,0)$. El calulations hizo probar este hecho.

Para ampliar las coordenadas podemos ajustar la escala del ángulo de cambio de estándar de coordenadas polares $\phi=k\alpha$ donde conocer la métrica elemento está dado por: $ds^{2}=dr^{2}+kr^{2}d\alpha^{2}$.

Haciendo el cambio de $x=r\cos(\alpha),y=r\sin(\alpha)$ a cambio a coordenadas Cartesianas tenemos un dominio de coordenadas que se definen en todas las $\mathbb{R}^{2}$, por lo que las coordenadas incluyen el vértice del cono.

La métrica resultante está dada por:

$ds^{2}=\frac{1}{2}(1 + k^{2} ) (dx ^{2} + d y ^{2})+\frac{1}{2}(1-k^{2})\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}(dx^{2}-dy^{2})+(1-k^{2})\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}dxdy$

Tenemos el espacio Euclidiano al $k=1$, pero aviso que para $k\neq1$ la métrica no es continua en a $(0,0)$ pero admiten límites finitos como $x,y\rightarrow 0$ .

Si la métrica no es continua, entonces la conexión y la curvatura no son funciones continuas. Si desea describir con precisión qué tipo de objetos de la curvatura de la conexión y, a continuación, tendrá que ampliar su noción de derivación para el tratamiento de objetos con bajo la diferenciabilidad. Esto nos lleva a la teoría de distribuciones y espacios de Sobolev.

Así que, básicamente, los siguientes pasos desde el punto de cálculo es aproximado a la curvatura de algún procedimiento de regularización. Esto es, desde el punto de análisis y geometría.

Sin embargo, si usted piensa que el de Gauss-Bonnet teorema en dos dimensiones (observe que en la métrica que se sugiere la extraña dimensionalidad hacer que el argumento inútil):

$\frac{1}{2\pi}\int_{S} KdS=\chi(M)-\frac{1}{2\pi}\int_{\partial S} k_{g}dl$

donde $K$ es la curvatura de Gauss contenida en el interior de ${\partial S}$, $k_{g}$ es la curvatura geodésica, y $\chi(M)$ es la característica de Euler.

Si hacemos un bucle alrededor de la cúspide sabemos que: $\chi(M)=1$ , ya que la región es homeomórficos a la disco, que la geodésica de la curvatura de un círculo fuera del cono es el mismo como en el espacio Euclidiano lo $k_{g}=\frac{1}{r}$ y $dl=rkd\alpha$.

Obtenemos entonces: $\frac{1}{2\pi}\int_{S} KdS=1-k$ que muestra la no desaparición de la curvatura dentro de $\partial U$. En el hecho de que $supp(K)=\{0\}$

Observe que el argumento sigue siendo si usted considerar las curvas homóloga a la de un círculo.

Answer 4

Aquí es puramente geométrica manera de pensar acerca de esto

Edward dice que es posible cortar un trozo de un plano espacio-tiempo y pegamento a los bordes juntos. Así que en mi mente esto se parece a un cono de papel.

Un cono es plana, precisamente porque puede ser creado enrollando una hoja plana. Rodando hasta la preserva la métrica en el interior de la hoja (no en los límites donde la cuña de corte). Cambiar la métrica requiere de estiramiento o de los cambios topológicos. Rodar no implica el estiramiento. Por lo tanto, la geometría intrínseca del cono se define la geometría de la hoja plana, excepto en la costura. Desde un cono tiene simetría rotacional esto implica que es plana en todas partes excepto en la punta. La punta es preservada por rotaciones sobre el eje, por lo que no es equivalente a cualquier otro punto donde la geometría es conocido por ser plana.

Se sigue inmediatamente que el transporte paralelo en el cono se da en paralelo transporte paralelo en el plano de la hoja, excepto en la costura, desde el transporte paralelo se define en términos de la métrica (la de Levi-Civita de conexión). El transporte a través de la costura es el transporte a través de la falta de cuña de la hoja plana. Para preservar la continuidad a la hora de transportar a través de la falta de cuña, es necesario realizar una rotación por un ángulo igual a la de la falta de cuña. A ver por qué pensar sobre el transporte de vectores de la base del sistema de coordenadas polares a través de la costura.

Transporte paralelo alrededor de la punta requiere el cruce de la costura y, por lo tanto, la aplicación de la por encima de la rotación. Que la rotación es el ángulo de déficit de la ruta. El ángulo es independiente de la ruta de acceso ya que está determinado por la falta de cuña. En particular, es la misma para las arbitrariamente pequeños senderos alrededor de la punta. Por lo tanto, todos los que la curvatura se concentra en la punta.

Video: Leonard Susskind demostrar esto con una real hoja de papel

Answer 5

La manera más intuitiva para expresar esto, hasta donde yo sé, es comenzar por tomar el límite de la relación de la circunferencia de un círculo en torno a la singularidad de su radio, con el radio tiende a cero. Esta relación debe ser $2\pi$ para un colector, y la forma cónica del déficit indica que el espacio-tiempo es singular en el centro del círculo. Usted puede encontrar más detalles en el artículo Ellis, G. F. R. y Schmidt, B. G. (1977). Singular espacio-tiempo. La Relatividad General y la Gravitación, 8(11):915.