Aún más en la distorsión

Question

Me gustaría explicar un poco en mi pregunta anterior que se puede encontrar aquí.

En primer lugar, permítanme recordar que una de Banach separable espacio de $(X, \| \cdot \|)$ se dice ser arbitrariamente distortable si para cada a $r > 1$ existe un equivalente a la norma $| \cdot |$ en $X$ tal que para cada infinito-dimensional subespacio $Y$ $X$ podemos encontrar un par de vectores $x, y$ $Y$ tal que $\|x\|=\|y\|=1$$|x| / |y| >r$. Si $X$ tiene un Schauder base $(e_n)$, luego esta definición es equivalente a la siguiente:

Para cada $r > 1$ existe un equivalente a la norma $| \cdot |$ $X$ tal que para cada normalizada la secuencia de bloques de $(v_n)$ $(e_n)$ existe una no-vacío finito subconjunto $F$ de $\mathbb{N}$, y un par de vectores $x, y$ $span\{v_n: n\in F\}$ tal que $\|x\|=\|y\|=1$ y $|x| / |y| >r$.

Esta equivalencia no nos da ninguna traseras de donde el conjunto finito $F$ se encuentra. En otras palabras:

si un espacio de Banach $X$ con una base de Schauder es arbitrariamente distortable, entonces, ¿de dónde tenemos que buscar para encontrar los vectores de la comprobación de que $X$ es arbitrariamente distortable?

Ahora, hay varias formas de cuantificación de las propiedades del espacio de Banach y mi pregunta es hacia la comprensión de que la "dificultad" para encontrar estos vectores pueden ser cuantificados.

La herramienta principal será ciertas familias de subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$. Estas familias fueron descubiertos (de forma independiente por dos grupos de investigadores: espacio de Banach teóricos (Schreier familias; ver 1 más abajo) y Ramsey teóricos (uniforme de las familias; véase 2 a continuación). En particular, para la discusión siguiente que necesitamos para cada contables ordinal $\xi\geq 1$ familia $F_\xi$ de los subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$ tal forma que:

1. $F_\xi$ es regular (es decir, compacta, hereditarios y difusión; lo siento por no dar la definición precisa de estas nociones, pero esto haría que el post es demasiado largo; pero yo será un placer responder a cualquier comentario).
2. Las familias están aumentando (con respecto a $\xi$) tanto en tamaño como en complejidad. Es decir, la "orden" de $F_\xi$ al menos $\xi$ e si $\zeta<\xi$ no existe $k$ de manera tal que todos los subconjuntos de a $F_\zeta$ cuyo mínimo es mayor que $k$ pertenecen a $F_\xi$.
3. Para $\xi=1$, tomemos la Schreier familia de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$ cuyo tamaño (o cardinalidad si se prefiere) es menor o igual a su mínimo.

Hay muchos ejemplos de tales familias, todos construidos mediante la inducción transfinita. Algunos de ellos han adicionales importantes propiedades. Para la concreción (y para simplificar las cosas) vamos a trabajar con el Schreier familias.

Ahora hemos llegado a la siguiente:

Definición: Dejar $(X,\| \cdot \|)$ ser un espacio de Banach con base de Schauder $(e_n)$ $\xi$ ser una contables ordinal con $\xi\geq 1$. Digamos que $X$ $\xi$-arbitrariamente distortable si para cada a $r > 1$ existe un equivalente a la norma $| \cdot |$ $X$ tal que para cada normalizada de la secuencia de bloques de $(v_n)$ $(e_n)$ existe una no-vacío set $F$ perteneciente a la familia de $F_\xi$ , y un par de vectores $x, y$ $span\{v_n: n\in F\}$ tal que $\|x\|=\|y\|=1$$|x| / |y| >r$.

En otras palabras, si $X$ $\xi$- arbitrariamente distortable, entonces hemos de reducir el búsqueda para el conjunto crítico $F$; tiene que pertenecer a un a priori dado "agradable" de la familia de subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$.

Para cada espacio de Banach $(X,\| \cdot \|)$ con una base de Schauder $(e_n)$ definir

$$ AD(X)=\min\{ \xi: X is $\xi$-arbitrarily distortable\} $$ si $X$ $\zeta$- arbitrariamente distortable para algunos $1\leq \zeta< \omega_1$. De lo contrario, establezca $AD(X)=\omega_1$.

Uno puede demostrar la siguiente equivalencia:

Deje $X$ ser separable espacio de Banach con base de Schauder. A continuación, $X$ es arbitrariamente distortable si y sólo si $AD(X)<\omega_1$.

Esto deja abiertas una serie de preguntas interesantes.

Pregunta 1: ¿Es cierto que $AD(\ell_2)>1$? Esto es sólo una reafirmación de mi la pregunta anterior.

Pregunta 2: ¿se Puede calcular $AD(\ell_p)$ por cada $1 < p < +\infty$?

Pregunta 3: ¿se Puede encontrar para cada contables ordinal $\xi\geq 1$ arbitrariamente un distortable Espacio de Banach $X_\xi$ tal que $AD(X_\xi)>\xi$. La respuesta es sí para $\xi=1$; de cualquier forma arbitraria distortable asintótica $\ell_1$ espacio $X$ satisface $AD(X)>1$.

Aviso de que una respuesta afirmativa a la Pregunta 3 no deja esperanza de un "uniforme" enfoque a la distorsión en general de los espacios de Banach separables.

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Algunas referencias:

1. D. Alspach y S. Argyros, la Complejidad de débilmente null secuencias, Dissertationes de Matemáticas. 321 (1992), 1-44.

2. P. Pudlak y V. Rodl, Partición de teoremas para los sistemas de subconjuntos finitos de números enteros, La Matemática Discreta. 39 (1982), 67-73.

Answer 1

Esto no es una respuesta a su pregunta, pero es una pregunta similar y una observación al respecto.

Supongamos que hacernos la siguiente pregunta: ¿es cierto que por cada equivalente de la norma en $\ell_2$ y cada ε>0 existe un bloque de base $v_1&lt;v_2&lt;\dots&lt;v_n$ tal que $n$ es mayor que el máximo del apoyo de $v_1$ $v_1,\dots,v_n$ abarcan un subespacio $(1+&epsilon;)$-isomorfo a $\ell_2^n$?

Esto es un poco como preguntar por un bloque de base "de tamaño". Dvoretzky del teorema dice que podemos obtener $n$ arbitrariamente grande,$n$, y el negativo de la solución del problema de la distorsión dice que no podemos encontrar una secuencia infinita (y, por tanto, que debe haber algún contables ordinal que no podemos llegar, en un cierto sentido obvio).

Ahora no hay razón para suponer que esta pregunta podría ser muy, muy difícil o tal vez incluso indecidible (aunque no estoy muy seguro de esto último). La razón es que es muy similar a la de París-Harrington teorema. La París-Harrington teorema pide un set $X$ de manera tal que su cardinalidad supera el mínimo elemento y todos sus subconjuntos de tamaño $r$ tienen el mismo color (y se inicia después de $m$, por ejemplo). Es conocido a "exigir" el axioma del infinito en un cierto sentido: uno puede demostrar que es trivialmente si uno aplica el infinito teorema de Ramsey, pero no hay ninguna prueba dentro de PA. Pero con esta distorsión de la variante, no tenemos la infinita teorema de Ramsey para aplicar como es falso! Entonces, ¿cómo hace uno para pensar acerca de esto? Creo que el ejemplo de Odell y Schlumprecht muestra que usted no puede conseguir a $&omega;^2$.

Me pregunto si su pregunta también podría ser afectado por las preocupaciones de este tipo.

Agrega un poco más tarde: ahora veo que esto podría haber sido más apropiado como una respuesta a tu pregunta anterior, que es uno de los que me he preguntado a mí mismo (como el de arriba hace claro).

Answer 2

Preguntas buenas. No sabemos $AD(S)$ para S-Schlumprecht espacio?