Prueba del Triángulo Rectángulo

Question

Un triángulo rectángulo tiene las longitudes enteras de los tres lados. Un lado tiene una longitud de 12. ¿Cuáles son las posibilidades para las longitudes de los otros dos lados? Proporcione una prueba para demostrar que ha encontrado todas las posibilidades.

EDICIÓN: Descubrí que hay un total de 4 combinaciones para un lado con longitud 12.

$$a^2= c^2 -b^2$$

factorizando el lado derecho se obtiene:

$$a^2 = (c+b)(c-b)$$

por lo tanto, de ahí solo busqué valores de c y b que harían que la ecuación fuera verdadera. Y obtuve: $(37,35), (13,5), (15,9), (20,16)$.

Mi único problema ahora es demostrar que estas son todas las posibilidades. Tengo una intuición de por qué eso es cierto, pero no sé cómo elaborar una prueba completa. Supongo que necesito hacer uso del hecho de que todos los lados deben ser de longitudes enteras y que $12$ en sí no puede ser igual a $c$.

Sé que si intentara valores para $b$ y $c$ cuya diferencia en valor absoluto fuera mayor a 8, entonces la ecuación no sería verdadera.

Ejemplo:

$(37,35)$ tiene una diferencia de $2$ y funciona.

$(13,5)$ tiene una diferencia de $8$ y funciona.

$(15,9)$ tiene una diferencia de $6$ y funciona.

$(20,16)$ tiene una diferencia de $4$ y funciona.

Pero si eligiera cualquier par con una diferencia en valor absoluto mayor a 8, no funcionaría. ¿Puedo simplemente demostrar que esto es cierto con un par de ejemplos? ¿O necesito una prueba genérica completa? Si es así, ¿cómo debería hacerlo?

Answer 1

Si $$144=(c+b)(c-b)$$ sabemos que $c+b$ es un divisor de $144$. Por lo tanto, solo hay finitas parejas de $(c,b)$ que tenemos que investigar. $(c+b,c-b)$ son del conjunto $$\{(1,144),(2,72),(3,48),(4,36),(6,24),\ldots,(144,1)\}$$. Pero sabemos que $c+b \gt c-b$ y que tanto $c+b$ como $c-b$ son pares. Como $12\cdot 12=144$ tenemos $c-b<12$ y $c+b>12$. Los únicos divisores pares de $144$ son $\{2,4,6,8\}$. Por lo tanto, tus soluciones son las únicas.

Pero el lado de longitud $12$ puede ser la hipotenusa $c$. Así que debes verificar la ecuación $$12^2=a^2+b^2$$ también. Una vez más, solo hay finitas parejas que verificar. Puedes suponer que $a \ge b$ y por lo tanto $a \ge \sqrt{\frac{144}{2}} = 8.\cdots$. Así que solo tienes que verificar $a \in \{9,10,11\}$.

Answer 2

Wolfram MathWorld da el número de formas en las que un número $n$ puede ser un cateto (que no sea la hipotenusa) de un triángulo rectángulo primitivo o no primitivo. Para $n=12$, el número es $4$. También da el número de formas en las que un número $n$ puede ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo primitivo o no primitivo. Para $n=12$, el número es $0$. Así que las cuatro triples que encontraste son las únicas.