Prop. 2.3 Hartshorne: $\varphi:A\to B$ induce una de morfismos $\operatorname{Spec}(B)\to\operatorname{Spec}(A)$

Question

No entiendo un paso en la prueba de la mencionada Proposición; más precisamente, en la parte (b):

Si $\varphi:A\to B$ es un homomorphism de los anillos, $X=\operatorname{Spec}(A)$, $Y=\operatorname{Spec}(B)$, a continuación, $\varphi$ induce un natural de morfismos de localmente anillado espacios de $$(f,f^*):(Y,\mathcal{O}_Y)\to(X,\mathcal{O}_X).$$

Como para la prueba: entiendo lo $f$ está construido y por qué es continua. Es el $f^*$ parte no acabo de conseguir. Si localizamos $\varphi$ a un punto de $\mathfrak{p}\in Y=\operatorname{Spec}(B)$, obtenemos un local homomorphism $\varphi_{\mathfrak{p}}:A_{\varphi^{-1}(\mathfrak{p})}\to B_{\mathfrak{p}}$. Ahora para un conjunto abierto $U\subseteq X$, se debe obtener un anillo homomorphism $f^*:\mathcal{O}_X(U)\to\mathcal{O}_Y(f^{-1}(U))$.

Traté de averiguar cómo funciona: los elementos de las $\mathcal{O}_X(U)$ funciones $U\to\coprod_{\mathfrak{q}\in U}A_{\mathfrak{q}}$, mientras que los de $\mathcal{O}_Y(f^{-1}(U))$ son de la forma $f^{-1}(U)\to\coprod_{\mathfrak{p}\in f^{-1}(U)}B_\mathfrak{p}$. Si queremos componer $s\in\mathcal{O}_X(U)$ $f$ desde la izquierda, la mitad de lo que necesitamos está ahí. Quiero usar el local homomorphisms $\varphi_\mathfrak{p}$ sobre el codominio de $s$, pero mi mente comienza a torcer cuando trato de pensar acerca de la indexación establecida allí. Estoy bastante seguro de que es un simple "problema". ¿Tal vez la primera igualdad en $$\coprod_{\mathfrak{q}\in U}A_\mathfrak{q}=\coprod_{\mathfrak{p}\in f^{-1}(U)}A_{\varphi^{-1}(\mathfrak{p})}=\coprod_{\varphi^{-1}(\mathfrak{p})\in U}A_{\varphi^{-1}(\mathfrak{p})}$$ already hold (so I could use the $\varphi_\mathfrak{p}$)?

Cada punto en $U$ ya de la forma $\varphi^{-1}(\mathfrak{p})$, y es este uno-a-uno? Supongo que mis pensamientos van en la dirección equivocada, y tal vez alguien es capaz de entender mi pequeña crisis y me ayude a salir. Esta construcción todavía me confunde, en particular el cambio de las direcciones todo el tiempo.

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Con el fin de definir $f^*:\mathcal{O}_X(U)\to\mathcal{O}_Y(f^{-1}(U))$ nos da un mapa de $s: U\to\coprod_{\mathfrak{q}\in U}A_{\mathfrak{q}}$ $s(\mathfrak q) \in A_\mathfrak{q}$ todos los $\mathfrak q \in U$ y queremos encontrar un mapa $f^*(s): f^{-1}(U) \to \coprod_{\mathfrak p \in f^{-1}(U)} B_\mathfrak p$ que se lleva a $\mathfrak p \in f^{-1}(U)$ a algún elemento en $B_\mathfrak p$. Así, por $\mathfrak p \in f^{-1}(U)$ tenemos $f(\mathfrak p) \in U$, por lo que podemos aplicar nuestra $s$ $f(\mathfrak p)$y consigue $(s \circ f)(\mathfrak p) \in A_{f(\mathfrak p)}$. Como usted dijo, el anillo de homomorphism $\varphi: A \to B$ induce un homomorphism $\varphi_{\mathfrak p}: A_{f(\mathfrak p)} \to B_\mathfrak p$ de los locales de los anillos. Podemos aplicar esto a $(s \circ f)(\mathfrak p)$ y obtenemos $(\varphi_\mathfrak p \circ s \circ f)(\mathfrak p) \in B_\mathfrak p$. En conjunto, nuestro mapa de la $f^*$ tiene este aspecto: $$f^*: \mathcal{S}_X(U)\a\mathcal{S}_Y(f^{-1}(U))\\ (s(\mathfrak q))_{\mathfrak q \U,} \in \prod_{\mathfrak q \U} A_\mathfrak q \mapsto ((\varphi_\mathfrak p \circ s \circ f)(\mathfrak p))_{\mathfrak p \in f^{-1}(U)} \in \prod_{\mathfrak p \in f^{-1}(U)} B_\mathfrak p$$