Número de contraseñas de 6 dígitos, comenzando con un dígito par o terminando con un dígito impar

Question

Mi problema es

Una contraseña consta de seis dígitos, cada uno en $\{0,\ldots,9\}$ ¿Cuántas contraseñas comienzan con un dígito par o terminan con un dígito impar?

la respuesta es $750,000.$

Me gustaría saber cómo se consigue exactamente $750,000$ como respuesta?

Answer 1

Su conjunto de contraseñas puede descomponerse en tres conjuntos disjuntos:

1) $2k,*, *, *, *, 2l$

2) $2k,*, *, *, *, 2l+1$

3) $2k+1,*, *, *, *, 2l+1$

En cada uno de estos conjuntos, hay $$ 5\cdot10^4\cdot5 $$ contraseñas.

Answer 2

Primero cuenta el número de combinaciones que empiezan y terminan con dígitos pares. Utilizando el teorema fundamental de la combinatoria sabemos que es $5\times10\times10\times10\times10\times5$ .

Ahora cuenta los números que empiezan con una cifra impar y terminan con una cifra par. Esto es $5\times10\times10\times10\times10\times5$ .

Y, por último, los números que empiezan con una cifra par pero terminan con una impar. Estos también son $5\times10\times10\times10\times10\times5$ .

La suma de todos ellos para obtener la respuesta es $3\times(5\times10\times10\times10\times10\times5)$ que es $3\times25\times10^4$ que es $750,000$ .

Answer 3

Sugerencia: cuente el número total de contraseñas posibles (sin importar el número inicial o final), y luego restar el número de contraseñas que no conozca o bien condición: $$\text{(the total number of ALL possible passwords} = 10^6 = 1,000,000)$$ $$ {\Large \bf-} (\text{# of passwords with first digit odd AND last digit even} = 5\times 10^4\times 5 = 250,000) $$ $$= \text{ solution} = 750,000.$$

Answer 4

Quiero decir en primer lugar que esto es básicamente la misma información que se presenta en las respuestas de Jorge y julien, y se basa en el comentario de Steve Kass, pero quería decirlo de una manera ligeramente diferente/diferentes detalles, en caso de que alguien necesita este tipo de explicación.

Primero Veamos cuántas contraseñas posibles hay. Bueno, hay $6$ "ranuras", y hay $10$ posibilidades para cada ranura. Así, tenemos $10^6 = 1000000$ posibles contraseñas.

Segundo Veamos cuántas contraseñas son no aceptable. Es decir, terminan en un dígito par, y comienzan con un dígito impar. Esto significa que hay $5$ posibilidades tanto para el dígito inicial como para el final; el primer dígito puede estar en $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ y el último dígito puede estar en $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ . El resto de los dígitos tienen $10$ posibilidades. Así, el número de contraseñas no aceptables es: $$5\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot5=5^2\cdot 10^4 = 250000$$

Finalmente Sabemos que el número de contraseñas aceptables es el número de contraseñas totales menos el número de contraseñas inaceptables. Por lo tanto, tenemos:

$$\text{acceptable passwords} = 1000000-250000 = 750000$$

Answer 5

Esperaba ver una respuesta más sencilla, pero en lugar de eso supongo que voy a proporcionar una.

Hay un 50% de posibilidades de que la contraseña tenga un primer dígito par.
Hay un 50% de posibilidades de que la contraseña tenga un último dígito impar.

Por lo tanto, hay un 25% de posibilidades de que la contraseña no tenga ninguna de las dos cosas, y un 75% de posibilidades de que tenga una u otra.

Así, para 6 dígitos, la respuesta es 750.000.