La solución de $\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(4+x^2)\sqrt{4+x^2}} \space dx}$

Question

Estoy tratando de resolver

$$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(4+x^2)\sqrt{4+x^2}} \space dx}$$

Sustituyendo $x=2\tan{t}$. Puedo llegar tan lejos como:

$$\int_{x \space = -\infty}^{x \space = \infty}{\frac{1}{(4+(\underbrace{2\tan{t}}_{x})^2)\sqrt{4+(\underbrace{2\tan{t}}_{x})^2}} \cdot \underbrace{2(1+\tan^2t) \space dt}_{dx}} = \dots$$

$$\dots = \frac{1}{4} \cdot \int_{t \space = -\infty}^{t \space = \infty}{\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2t}} \space dt}$$

Ahora, ¿qué? He hecho nada malo? No veo cómo podría continuar a partir de ahora.

Answer 1

Su sustitución es el camino a seguir en este problema. Para completar la sustitución sin embargo, recomiendo que se calculan los nuevos límites para $t$. Un enfoque alternativo es posponer esto hasta el final, pero este enfoque invariablemente termina confuso si hay una cadena de sustituciones. En este ejemplo, como $x \to -\infty$, $t = \arctan x \to -\frac{\pi}{2}$; de forma similar a como $x \to \infty$,$t \to \frac{\pi}{2}$. Por lo tanto, después de la sustitución, la integral se convierte en $$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 t}} \, dt. $$

---

Para continuar, es necesario utilizar el siguiente primo de el teorema de Pitágoras: $$ 1 + \tan^2 t = \s^2 t . $$ Esta identidad es muy importante y útil en la práctica-y no menos en la manipulación de las integrales como este. Uno debe ser recordado de esta identidad cuando uno viene a través de una expresión como $\sqrt{1 + \tan^2 t}$ o $\sqrt{1+ x^2}$. Por cierto, la prueba de esta identidad se basa en el estándar teorema de Pitágoras: $$ 1+ \tan^2 t = 1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1}{\cos^2 t} = \s^2 t. $$ De esto se sigue que $$ \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 t}} = |\cos t|. $$

Por lo tanto la integral se convierte en $$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos t| \, dt. $$ Se puede tomar desde aquí?