Cómo representar Ese número $F_n$ como suma de tres cuadrados?

Question

Deje $F_n=2^{2^n}+1$ el número de Fermat. La forma de representar el número de Fermat $F_n$ $n \geq 3$ como suma de tres cuadrados de diferentes números naturales? Por ejemplo, para $n=3$ hemos $$ F_3=257=5^2+6^2+14^2. $$ ¿Hay algún procedimiento sencillo para escribir este tipo de representaciones para otro $n$?

Answer 1

Deje $X=2^{2^{n-1}}$. A continuación, $X$ es congruente a $1$ modulo $3$, por lo que

$$ F_n=X^2+1=\bigg(\frac{2X+1}{3}\bigg)^2+ \bigg(\frac{2X-2}{3}\bigg)^2+ \bigg(\frac{X+2}{3}\bigg)^2 $$

Los valores son distintos, excepto cuando se $X=1$ o $4$ (que están excluidos desde $n\geq 3$).