Cómo evaluar este factor determinante?

Question

Alguien puede darme una pista de cómo resolver $$\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & \ldots & & 1\\ 2x_{1} & 2x_{2} & & & 2x_{n}\\ \vdots\\ nx_{1}^{n-1} & nx_{2}^{n-1} & \ldots & & nx_{n}^{n-1}\\ \\ \end{array}\right|$$ ?

Yo sé que de alguna manera tiene que utilizar el determinante de Vandermonde a hacer esto, pero no puedo averiguar cómo deshacerse de los coeficientes. Alguien puede darme una pista por favor ?

Answer 1

He aquí una sugerencia: multiplicar una matriz a la izquierda por una matriz diagonal hace qué?

Answer 2

Debido a $\det A = \sum \epsilon_{i_1, i_2, \ldots, i_n} a_{1,i_1} \cdot a_{2,i_2} \cdots a_{n,i_n}$. Desde $k x_i^{k-1} = \partial_{x_i} x_i^k$, el determinante de su matriz $A$ es $$ \det a = \partial_{x_1, x_2, \ldots, x_n} \left( x_1, x_2 \cdots x_n W(x_1, x_2, \ldots, x_n) \right) $$ donde $W(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ es el determinante de la matriz de Vandermonde.

$$ \det a = \partial_{x_1, x_2, \ldots, x_n} \left( x_1, x_2 \cdots x_n \prod_{i < j} (x_i - x_j) \right) $$

Añadió:

En realidad, parece que el derivado puede ser encontrado en forma cerrada, con el resultado de $$ \det a = n! \prod_{i < j} (x_i - x_j) $$