Cómo encontrar la verdadera raíz de una función con $\sin x, \cos x$?

Question

Es allí cualquier manera de encontrar la verdadera raíz de la siguiente ecuación en la mano? Sólo se necesita contar el número de ceros~

$$x^2-x \sin x- \cos x=0$$

Yo sé que hay una regla para encontrar las raíces reales de polinomio por contar el número de veces que el signo de los coeficientes de cambios. Pero ¿cómo podemos encontrar la verdadera raíz de una función como esta, sin el uso de calculadora gráfica?

Gracias de antemano!!

Answer 1

Ecuaciones como la que usted no tiene aseado explícita respuestas.

Sin embargo, existen métodos de estimación de raíces, y más en general de los enfoques que pueden ayudar, también.

En el caso de $x^2-x\sin(x)-\cos(x)=0$, podemos empezar por darse cuenta de que las soluciones deben ser pequeños, como $x\sin(x)-\cos(x)$ es mucho menor que $x^2$ en la magnitud de un gran $x$.

Como una primera aproximación, nos damos cuenta de que $\sin(x)\approx x$ suficientemente pequeño $x$, y por lo tanto las soluciones de los previstos en la vecindad de los puntos donde se $x^2-x^2-\cos(x)=0$. Observe que estos ocurren en $x=\pm \frac{\pi}2$, lo que está más allá del rango en el que $\sin(x)\approx x$.

Mirando a la función de nuevo, vemos que $-1\leq \sin(x)\leq 1$, y del mismo modo para $\cos(x)$. Como $x^2$ es positivo, buscamos los valores de $x\sin(x)+\cos(x)$ que son de una magnitud similar y positivo. Podemos tomar, como un obligado, $|x|+1$. Ahora, cuando $x^2-|x|-1=0$,$|x| = \frac{1\pm \sqrt{1+4}}2$, que, como debe de ser positivo, da $|x| = \frac{1+\sqrt{5}}2$. Como tal, no existe la solución puede ser mayor en magnitud que este. $\frac\pi2$ es ligeramente más pequeño que él.

Pero razonablemente, esperamos que nuestra solución para estar un poco más cerca a $0$ (desde nuestra límites asumido $\cos(x)=1$$\sin(x)=1$, lo que vamos a utilizar $\frac\pi3$ como nuestra estimación.

Ahora, podemos volver a Método de Newton para obtener una mejor estimación. $f(x)=x^2-x\sin(x)-\cos(x)$, lo $f'(x)=2x-x\cos(x)$. Y por tanto, nuestra primera Newton paso que da

$$x = \frac\pi3 - \frac{\frac{\pi^2}9-\frac{\pi\sqrt{3}}6-\frac12}{\frac\pi3(2-\frac12)} = \frac\pi3 - (\frac{2\pi}9-\frac{\sqrt{3}}3-\frac1\pi) = \frac\pi9 + \frac{\sqrt{3}}3+\frac1\pi\aprox 1.244726$$ En este punto, $f(x)\approx 0.04988$, una aproximación razonable (teniendo en cuenta que $f(0)=-1$$f(\frac\pi3) \approx −0.31$).

Answer 2

La resolución de una "fórmula cuadrática" escondido en la relación dada por el pensamiento de las funciones trigonométricas como los coeficientes de rendimientos $$x = \frac 1 2 \left(\sin x \pm \sqrt{\sin^2 x+4\cos x}\right)~~.$$ Podemos pensar en esto como un proceso iterativo de solver para las raíces; es decir, $$x_{n+1} = \frac 1 2 \left(\sin x_n \pm \sqrt{\sin^2 x_n+4\cos x_n}\right)~~,$$ para una adecuada estimación inicial $x_0$. Mientras que no hay a priori la garantía de un punto fijo converge, tomando por ejemplo, $x_0 =0$ e las $+$ $\pm$ produce la secuencia $x_1 = 1$, $x_2 = 1.268$, $x_3 = 1.202$, $x_4 = 1.227$, $x_5 = 1.218$, ...

En este punto la función original se evalúa sobre la $-4.98\times 10^{-3}$, lo que sugiere una solución. Observa que la función es aún produce otra solución cerca de $-1.218$, y un derivado del estándar de análisis se opone a cualquier otro posible raíces.