¿Existe alguna función que crezca "más lentamente" que su derivada?

Question

Una función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f'(x) > f(x) > 0$ ¿Existe?

Intuitivamente, creo que no puede existir.

He intentado encontrar la respuesta utilizando la definición de derivada:

1. Sé que si $\lim_{x \rightarrow k} f(x)$ existe y es finito, entonces $\lim_{x \rightarrow k} f(x) = \lim_{x \rightarrow k^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow k^-} f(x)$

2. Gracias a esta propiedad, puedo escribir:

$$\begin{align} & f'(x) > f(x) > 0 \\ & \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(x + h) - f(x)}h > f(x) > 0 \\ & \lim_{h \rightarrow 0^+} f(x + h) - f(x) > h f(x) > 0 \\ & \lim_{h \rightarrow 0^+} f(x + h) > (h + 1) f(x) > f(x) \\ & \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(x + h)}{f(x)} > h + 1 > 1 \end{align}$$

3. Esto lleva al resultado $1 > 1 > 1$ (o $0 > 0 > 0$ si se detiene antes), lo cual es falso.

Sin embargo creo que he cometido graves errores con mi prueba. Creo que he utilizado los límites de forma incorrecta. ¿Qué opinas?

Answer 1

ampliado a partir del comentario de David

$f' > f$ significa $f'/f > 1$ así que $(\log f)' > 1$ . ¿Por qué no tomar $\log f > x$ , digamos que $\log f = 2x$ o $f = e^{2x}$ .

Así, $f' > f > 0$ desde $2e^{2x} > e^{2x} > 0$ .

añadido: ¿Existe una solución subexponencial?
Desde $(\log f)'>1$ obtenemos $$\log(f(x))-\log(f(0)) > \int_0^x\;1\;dt = x$$ así que $$\frac{f(x)}{f(0)} > e^x$$ y por lo tanto $$f(x) > C e^x$$ para alguna constante $C$ ... es no sub-exponencial.

Answer 2

Hay múltiples errores en tu prueba (por ejemplo, dividir por $f(x)$ no está necesariamente bien, ya que no es necesariamente positivo). Lo más importante es que trates la variable en el límite como si no estuviera "acotada". Es decir, si tienes algo como $$\lim_{h\rightarrow 0^+}1>0$$ lo cual es cierto, no necesariamente se puede, digamos, multiplicar por $h$ para conseguir $$\lim_{h\rightarrow 0^+}h>0\cdot h$$ que es falso. Esto es esencialmente lo que usted hace, y por qué su conclusión es errónea. Tienes que considerar la $h$ como perteneciente al límite - es decir $\lim_{h\rightarrow 0^{+}}f(h)$ es una constante - no depende de $h$ porque no existe la noción de " $h$ " fuera del límite.

Para un ejemplo de una función que no satisface esto, se puede tomar $e^{\alpha x}$ para cualquier $\alpha>1$ . Otra solución es $xe^x$ . Vale la pena señalar que desde la solución de $f'=f$ es $x\mapsto e^x$ podemos demostrar que cualquier solución crece más rápido que exponencialmente.

Answer 3

Incluso de forma más general que lo que han planteado otras respuestas (aunque esto está implícito en un paso de la prueba de GEdgar), si dejas que $g$ sea una función continua, y $G$ una primitiva arbitraria de $g$ (es decir, G' = g), entonces si $f(x) = e^{G(x)}$ tenemos $f' = gf$ . Así que el relación de una función a su derivada puede crecer a tasas esencialmente arbitrarias.

Edición: como señala Marc van Leeuwen, un ejemplo obtenido de esto es que $f(x) = e^{x^2}$ satisface la propiedad de que $f'(x)/f(x) = 2x$ por lo que la derivada crece asintóticamente más rápido que la función.

Answer 4

Sigamos trabajando con tu razonamiento. Si $f'(x) > f(x)$ entonces tenemos que para $h > 0$ suficientemente pequeño,

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} > f(x)$$

así que

$$f(x+h) - f(x) > hf(x)$$ $$\frac{f(x+h)}{f(x)} > h+1$$

Como has encontrado. El problema se produce cuando se toma el límite. La forma correcta de tomar el límite es

$$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x+h)}{f(x)} \ge \lim_{h \to 0^+} h+1$$ $$1 \ge 1$$

que no es una contradicción. Para ver por qué tenemos que tomar el límite así, veamos las funciones $f(x) = x$ , $g(x) = 1$ . Ahora, ciertamente podemos argumentar que para $x < 1$ , $f(x) < g(x)$ sin embargo,

$$\lim_{x\to0^-}f(x) = 1 = \lim_{x\to0^-}g(x)$$

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Como ya han señalado otros, lo que intentas demostrar es falso: $f(x) = e^{2x}$ es un contraejemplo.

Answer 5

Dejemos que $f(x) =e^x + C$ donde $C<0$ entonces $f'(x)-f(x)=-C>0$ o $f'(x)>f(x)$ para todo x - un ejemplo trivial. En este ejemplo $f(x)$ puede ser uniformemente >, o < $f(x)$ dependiendo del valor de $C$ .