¿Cuál es la intuición que subyace a la definición de diferencial de una función?

Question

¿Cuál es la intuición que subyace a la definición de diferencial de una función en geometría diferencial? es decir. $$df(p)(v_{p}) =v_{p} (f)(p) $$ donde $v_{p} \in T_{p} M$ es un vector en el espacio tangente al punto $p\ M$ .

¿Es que la noción de cambio infinitesimal de una función no es matemáticamente rigurosa (en el sentido "tradicional" en que se presenta en el cálculo elemental)? Entonces, para que la noción sea matemáticamente rigurosa, observamos que una cantidad que capte la noción de cambio infinitesimal en una función debería ser a su vez una función de todos los posibles cambios infinitesimales del punto en el que se evalúa la función, es decir, debería ser una función de todos los posibles vectores tangentes en el espacio vectorial tangente a ese punto (ya que tales cantidades describen las posibles direcciones en las que una función puede pasar por un punto y todas las posibles "velocidades"). ¡En este sentido, el cambio diferencial de la función a su paso por el punto en una dirección dada debería ser igual a la derivada direccional de la función a lo largo del vector particular que describe esa dirección !

Answer 1

La respuesta más clásica es probablemente: $df_p$ es la mejor aproximación lineal de $f$ en $p$ en un sentido que pueda precisarse.

Personalmente, a menudo me gusta pensar en ello de la siguiente manera:

En $f$ transforma posiciones, el diferencial de $f$ transforma las velocidades.

o si lo prefiere:

En $f$ transforma puntos, $df$ transforma los vectores tangentes.

Más concretamente: que $t \mapsto x(t)$ sea una curva en $M$ a través de $p$ en $t=0$ . La imagen de esta curva en $N$ es $t \mapsto y(t) = f(x(t))$ . Sea $v = x'(0) \in T_{p}M$ y $w = y'(0) \in T_{f(p)}N$ . Entonces $w = df_p(v)$ .

Resumiendo: $$\frac{d}{dt}_{|t=0}f(x(t)) = df_{x_0} (x'(0))$$

Esta interpretación del diferencial me parece útil tanto desde el punto de vista conceptual como, muy a menudo, práctico.

Answer 2

Me gusta pensar en ello de esta manera:

El "infinitesimal" la perspectiva no es codificado en $df$ o en $v_p$, pero en $f$ sí. Esto es debido a que definimos las derivaciones en un punto de $p$ no en las funciones lisas, pero en el tallo de los gérmenes de las funciones lisas en $p$, es decir, en $$ \mathcal{C}^{\infty}_p := \left\{ (f,U) : p \U, U \text{open}, f \in \mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{R})\right\} / \sim $$ donde $(f,U) \sim (g,V)$ fib $f \mid_{U \cap V} = g \mid_{U \cap V}$. En particular, esto significa que la clase $f_p$ $(f,U)$ captura el local comportamiento de $f$$p$.

Ahora arreglar un local de coordenadas del gráfico de $((x_1,\dotsc,x_n),U)$ para algunos de vecindad $U$$p$, por lo que el $\frac{\partial}{\partial x_1},\dotsc,\frac{\partial}{\partial x_n}$ es una base para $T_p M$. Aquí $\frac{\partial}{\partial x_j}$ es por definición el (único) de derivación tales que $$ \frac{\partial}{\partial x_j}(x_{i,p}) = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$ Esto significa que usted puede pensar de $\frac{\partial}{\partial x_j}(f_p)$ como el cambio local de $f$ $p$ en la "dirección" $\frac{\partial}{\partial x_j}$, es decir, en la misma dirección en la que las coordenadas del mapa de $x_j$ aumenta.

Así que, ¿cuál es el diferencial de $f_p$? Creo que es un útil cambiar de perspectiva: permite pensar de $\frac{\partial}{\partial x_j}(f_p)$ no como una función de la $f_p$, pero como una función de la $\frac{\partial}{\partial x_j}$. Esto es útil porque permite definir un estilo muy natural mapa de las funciones lisas para el espacio dual $T^*_p M$. Por un lado, con este mapa se puede demostrar fácilmente que $dx_1,\dotsc,dx_n$ es una base para este espacio. Por otro lado, se sugiere que si se puede razonablemente mapa de $0$formas de a $1$-formas, entonces podría no ser demasiado duro para extender esta idea a un mapa de $n$formas de a $n+1$-formas. De hecho, esto es posible y es lo que se llama el exterior de derivados.

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Puede ser útil para aclarar que Seub está hablando de algo un poco diferente cosa en su respuesta. De hecho, consideran que una de morfismos de diferencial de colectores $\phi\colon M \to N$ y fijar un punto de $p \in M$. Luego de precomposición por $\phi$ da un mapa de $\mathcal{C}^{\infty}_{\phi(p)}$ ( $N$ ) $\mathcal{C}^{\infty}_p$ ( $M$ ), simplemente porque si $f\colon N \to \mathbb{R}$ es suave en$\phi(p)$, $f \circ \phi$ es suave en $p$. A continuación, puede definir un mapa $$ \phi_* \colon T_p(M) \a T_{\phi(p)}(N) $$ por poner $\big(\phi_*(v_p)\big)(f_{\phi(p)}) = v_p((f \circ \phi)_p)$ por cada $f \in \mathcal{C}^{\infty}_{\phi(p)}$.

¿Por qué son estas dos cosas? Supongamos $N = \mathbb{R}$. Entonces la identidad en $N$ tiene un germen $\mathbf{1}_{\phi(p)} \in \mathcal{C}^{\infty}_{\phi(p)}$ y tenemos $\big(\phi_*(v_p)\big)(\mathbf{1}_{\phi(p)}) = v_p((\mathbf{1} \circ \phi)_p) = v_p(\phi_p)$.

Esta perspectiva es muy útil, porque permite "comparar" la tangente espacios de dos colectores (en puntos correspondientes). No creo que su motivación es la medición de la $\phi$ cambios, aunque, tal vez históricamente, pero no en este formalismo. Usted probablemente intente hacerlo pasando a través de cartas locales, y de hecho Boothby hace algo similar en los ejemplos 1.9 y 1.10, en el capítulo 4 de su libro (páginas 112-115 en mi edición).

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Nota: Su pregunta acerca de la intuición (o, creo, motivación) de la definición de la diferencial en la geometría diferencial, y espero que me lo dejó claro. Por otro lado, a partir de sus comentarios parece que las fuentes de su confusión se Spivak del libro y el esfuerzo por conciliar esta definición con la noción clásica de las diferencias como "cantidades infinitesimales". Ahora, la cita de L. Ryder del libro:

El $1$forma $\mathbf{d}x^{\mu}$ es no el mismo que el infinitesimal $dx^{\mu}$: no es un 'número', sino un miembro de la cotangente del espacio $T_p^*$.

Justo antes de que el párrafo que se cita en sus comentarios, Spivak escribe (el énfasis es mío):

Clásica diferencial de los geómetras (clásica y analistas), no dudó en hablar de "infinitamente pequeños" cambios de $dx^i$ de las coordenadas $x^i$, así como Leibnitz había. Nadie quería admitir que esto era una tontería, porque los verdaderos resultados se han obtenido cuando estos infinitamente pequeñas cantidades se divide en cada uno de los otros (siempre lo hizo de la manera correcta).

Esto simplemente significa que el clásico formalismo es no riguroso: usted puede pensar de "cambios infinitesimales" si esto le ayuda a visualizar lo que estás haciendo, pero usted no puede confiar en cualquier resultado que se obtiene de esta manera hasta que se pruebe mediante el uso de solid definiciones.

Luego continúa diciendo que si bien no podemos decir cuánto es un "infinitamente pequeño" cambio (al menos en el marco de análisis estándar), todavía podemos decir "donde nuestra función va", al igual que con los vectores de tangentes a una curva. Además, clásicamente la diferencial de una función es visto como su variación en frente de un "infinitesimal" la variación en sus variables, por lo que podría iniciar la formalización de la misma como una función de este cambio. Ya hemos dicho que todavía podemos (intuitivamente) pensar en el cambio como un vector tangente que se convierte en una función en el espacio de la tangente.

En este sentido, si se piensa en una curva suave sobre una superficie suave colector $M$ como una función suave $c$ $\mathbb{R}$ $M$(el que puede, al menos a nivel local), entonces el "cambio infinitesimal" de la curva en presencia de un "cambio infinitesimal" de que el parámetro se convierte en una función de$T_p\mathbb{R}$$T_{c(p)}M$, lo que llamamos el diferencial de $c$.

Answer 3

(Lo que sigue se refiere únicamente a funciones definidas en algún $\Omega\subset{\mathbb R}^n$ )

Si $p$ es un punto "genérico" para la función $f:\>{\mathbb R}^n\to{\mathbb R}$ entonces la tasa de cambio de $f$ al alejarse de $p$ depende de la dirección elegida, pero no de forma arbitraria: Hay una dirección de aumento máximo, hay un plano que pasa por $p$ prácticamente sin cambios de $f$ al alejarse permaneciendo en este plano, y hay una dirección de máxima disminución. Se pueden medir estas distintas tasas de cambio utilizando derivadas direccionales: Si $u$ es un vector unitario se puede definir $$D_uf(p)=\lim_{t\to0+}{f(p+t u)-f(p)\over t}\ .$$ Esta idea no nos dice nada sobre cómo $D_uf(p)$ depende de $u$ . En realidad hay un cierto vector $\nabla f(p)$ llamada gradiente de $f$ en $p$ tal que $D_u f(p)$ puede calcularse para todos los $u$ mediante la fórmula $$D_u f(p)=\nabla f(p)\cdot u\ .\tag{1}$$ Esto demuestra que el "comportamiento lineal" de $f$ al alejarse de $p$ se codifica en este vector $\nabla f(p)$ de una vez por todas.

La norma $$X\mapsto \nabla f(p)\cdot X$$ que aparece en $(1)$ para el caso especial $X=u$ un vector unitario, convierte el vector $\nabla f(p)$ en una función lineal $\phi$ en el espacio tangente a $p$ : Para cada $X\in T_p$ un valor $\phi(X):=\nabla f(p)\cdot X$ se define. Este funcional lineal se denomina diferencial de $f$ en $p$ y se denota por $df(p)$ . Está relacionado con pequeños cambios de $f$ en las proximidades de $p$ mediante la fórmula $$f(p+X)-f(p)=df(p).X+o\bigl(|X|\bigr)\qquad(X\to0)\ .\tag{2}$$ Tenga en cuenta que en $(2)$ no aparecen ni producto escalar, ni vectores unitarios.

Answer 4

Como siempre, la intuición procede del caso euclidiano -¡aquí incluso del caso unidimensional!

En la geometría diferencial de la línea $\mathbb{R}$ con función de coordenadas $t$ tenemos

• El campo vectorial estándar, normalmente denotado $\partial /\partial t$
• La forma diferencial estándar, denotada $\mathrm{d} t$

El campo vectorial estándar capta el aspecto geométrico del cálculo de una variable y la forma diferencial estándar capta el aspecto algebraico.

Estas aplicaciones pueden ser un poco difíciles de distinguir al principio, pero se hace más claro cuando se ve cómo se utiliza la línea:

• Mapas $\mathbb{R} \to M$ describen curvas en un colector. Cada curva empuja el campo vectorial estándar $\partial / \partial t$ hacia adelante para dar los vectores tangentes a la curva en $M$ .
• Mapas $M \to \mathbb{R}$ describen campos escalares en una variedad. Cada campo escalar adopta la forma diferencial estándar $\mathrm{d} t$ para obtener la diferencial del campo escalar en $M$ .

Ahora sabemos cómo combinar formas diferenciales y campos vectoriales en $\mathbb{R}$ ; por ejemplo, el caso más sencillo es que si $y = g(t)$ entonces $\mathrm{d} y \cdot \frac{\partial}{\partial t} = g'(t)$ . Esto se extiende al colector: si tenemos una curva $\gamma$ y un campo escalar $f$ entonces

$$ f^*(\mathrm{d} t) \cdot \gamma_*(\partial / \partial t) = (f \circ \gamma)'$$

Esto es coherente con los otros dos lugares donde podríamos hacer la combinación:

$$ \mathrm{d} t \cdot (f_* \circ \gamma_*)(\partial / \partial t) = (f \circ \gamma)'$$ $$ (\gamma^* \circ f^*)(\mathrm{d} t) \cdot \partial/\partial t = (f \circ \gamma)'$$

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Como efecto secundario de mis tendencias algebraicas, personalmente prefiero un enfoque de "formas diferenciales primero" para este tipo de cosas; OMI expresar las cosas desde la perspectiva algebraica tiende a hacer el cálculo más limpio e intuitivo. En este enfoque, se podría definir la vectores tangentes como funcionales lineales en el diferenciales .

Por ejemplo $\mathrm{d}(x^2 y) = 2xy \mathrm{d}x + x^2 \mathrm{d} y$ y en $(x,y)$ coordenadas, el vector $\partial / \partial x$ es el mapeo que envía $\mathrm{d}x \to 1$ y $\mathrm{d} y \to 0$ . Creo que esta formulación es incluso una descripción más directa de lo que queremos decir con la notación $\partial / \partial x$ : "la variación junto con $x$ como $y$ se mantiene constante ".

Nunca he visto los fundamentos de la geometría diferencial desarrollados de esta forma, pero imagino que empezarías a definir el haz cotangente de forma análoga a como habrías definido el haz tangente.

Sin embargo, en otras asignaturas en las que las funciones desempeñan un papel más importante a nivel fundamental, como la geometría algebraica, el enfoque estándar es utilizar primero las formas diferenciales.