Me gusta pensar en ello de esta manera:
El "infinitesimal" la perspectiva no es codificado en $df$ o en $v_p$, pero en $f$ sí. Esto es debido a que definimos las derivaciones en un punto de $p$ no en las funciones lisas, pero en el tallo de los gérmenes de las funciones lisas en $p$, es decir, en
$$
\mathcal{C}^{\infty}_p := \left\{ (f,U) : p \U, U \text{open}, f \in \mathcal{C}^{\infty}(U,\mathbb{R})\right\} / \sim
$$
donde $(f,U) \sim (g,V)$ fib $f \mid_{U \cap V} = g \mid_{U \cap V}$. En particular, esto significa que la clase $f_p$ $(f,U)$ captura el local comportamiento de $f$$p$.
Ahora arreglar un local de coordenadas del gráfico de $((x_1,\dotsc,x_n),U)$ para algunos de vecindad $U$$p$, por lo que el $\frac{\partial}{\partial x_1},\dotsc,\frac{\partial}{\partial x_n}$ es una base para $T_p M$. Aquí $\frac{\partial}{\partial x_j}$ es por definición el (único) de derivación tales que
$$
\frac{\partial}{\partial x_j}(x_{i,p}) =
\begin{cases}
1 & \text{if } i = j \\
0 & \text{otherwise}
\end{casos}
$$
Esto significa que usted puede pensar de $\frac{\partial}{\partial x_j}(f_p)$ como el cambio local de $f$ $p$ en la "dirección" $\frac{\partial}{\partial x_j}$, es decir, en la misma dirección en la que las coordenadas del mapa de $x_j$ aumenta.
Así que, ¿cuál es el diferencial de $f_p$? Creo que es un útil cambiar de perspectiva: permite pensar de $\frac{\partial}{\partial x_j}(f_p)$ no como una función de la $f_p$, pero como una función de la $\frac{\partial}{\partial x_j}$. Esto es útil porque permite definir un estilo muy natural mapa de las funciones lisas para el espacio dual $T^*_p M$. Por un lado, con este mapa se puede demostrar fácilmente que $dx_1,\dotsc,dx_n$ es una base para este espacio. Por otro lado, se sugiere que si se puede razonablemente mapa de $0$formas de a $1$-formas, entonces podría no ser demasiado duro para extender esta idea a un mapa de $n$formas de a $n+1$-formas. De hecho, esto es posible y es lo que se llama el exterior de derivados.
Puede ser útil para aclarar que Seub está hablando de algo un poco diferente cosa en su respuesta. De hecho, consideran que una de morfismos de diferencial de colectores $\phi\colon M \to N$ y fijar un punto de $p \in M$. Luego de precomposición por $\phi$ da un mapa de $\mathcal{C}^{\infty}_{\phi(p)}$ ( $N$ ) $\mathcal{C}^{\infty}_p$ ( $M$ ), simplemente porque si $f\colon N \to \mathbb{R}$ es suave en$\phi(p)$, $f \circ \phi$ es suave en $p$. A continuación, puede definir un mapa
$$
\phi_* \colon T_p(M) \a T_{\phi(p)}(N)
$$
por poner $\big(\phi_*(v_p)\big)(f_{\phi(p)}) = v_p((f \circ \phi)_p)$ por cada $f \in \mathcal{C}^{\infty}_{\phi(p)}$.
¿Por qué son estas dos cosas? Supongamos $N = \mathbb{R}$. Entonces la identidad en $N$ tiene un germen $\mathbf{1}_{\phi(p)} \in \mathcal{C}^{\infty}_{\phi(p)}$ y tenemos $\big(\phi_*(v_p)\big)(\mathbf{1}_{\phi(p)}) = v_p((\mathbf{1} \circ \phi)_p) = v_p(\phi_p)$.
Esta perspectiva es muy útil, porque permite "comparar" la tangente espacios de dos colectores (en puntos correspondientes). No creo que su motivación es la medición de la $\phi$ cambios, aunque, tal vez históricamente, pero no en este formalismo. Usted probablemente intente hacerlo pasando a través de cartas locales, y de hecho Boothby hace algo similar en los ejemplos 1.9 y 1.10, en el capítulo 4 de su libro (páginas 112-115 en mi edición).
Nota: Su pregunta acerca de la intuición (o, creo, motivación) de la definición de la diferencial en la geometría diferencial, y espero que me lo dejó claro. Por otro lado, a partir de sus comentarios parece que las fuentes de su confusión se Spivak del libro y el esfuerzo por conciliar esta definición con la noción clásica de las diferencias como "cantidades infinitesimales". Ahora, la cita de L. Ryder del libro:
El $1$forma $\mathbf{d}x^{\mu}$ es no el mismo que el infinitesimal $dx^{\mu}$: no es un 'número', sino un miembro de la cotangente del espacio $T_p^*$.
Justo antes de que el párrafo que se cita en sus comentarios, Spivak escribe (el énfasis es mío):
Clásica diferencial de los geómetras (clásica y analistas), no dudó en hablar de "infinitamente pequeños" cambios de $dx^i$ de las coordenadas $x^i$, así como Leibnitz había. Nadie quería admitir que esto era una tontería, porque los verdaderos resultados se han obtenido cuando estos infinitamente pequeñas cantidades se divide en cada uno de los otros (siempre lo hizo de la manera correcta).
Esto simplemente significa que el clásico formalismo es no riguroso: usted puede pensar de "cambios infinitesimales" si esto le ayuda a visualizar lo que estás haciendo, pero usted no puede confiar en cualquier resultado que se obtiene de esta manera hasta que se pruebe mediante el uso de solid definiciones.
Luego continúa diciendo que si bien no podemos decir cuánto es un "infinitamente pequeño" cambio (al menos en el marco de análisis estándar), todavía podemos decir "donde nuestra función va", al igual que con los vectores de tangentes a una curva.
Además, clásicamente la diferencial de una función es visto como su variación en frente de un "infinitesimal" la variación en sus variables, por lo que podría iniciar la formalización de la misma como una función de este cambio. Ya hemos dicho que todavía podemos (intuitivamente) pensar en el cambio como un vector tangente que se convierte en una función en el espacio de la tangente.
En este sentido, si se piensa en una curva suave sobre una superficie suave colector $M$ como una función suave $c$ $\mathbb{R}$ $M$(el que puede, al menos a nivel local), entonces el "cambio infinitesimal" de la curva en presencia de un "cambio infinitesimal" de que el parámetro se convierte en una función de$T_p\mathbb{R}$$T_{c(p)}M$, lo que llamamos el diferencial de $c$.
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