secuencia exacta inducida por la restricción a cerrado subscheme

Question

Estoy un poco avergonzado de ser confundidos acerca de este problema después de un tiempo el estudio de la geometría algebraica, pero aquí va.

Deje $\iota: Y \hookrightarrow X$ ser la inclusión de un cerrado subscheme, $U$ es el complemento de a$Y$$X$, e $\mathcal{F}$ una gavilla en $X$. Entonces uno tiene una secuencia exacta de las poleas

$$0 \rightarrow \mathcal{F}_U \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}_Y \rightarrow 0.$$

Aquí $\mathcal{F}_Y = \iota_* (\iota^{-1} \mathcal{F})$ $\mathcal{F}_U = j_{!} (j^{-1}\mathcal{F})$ donde $j: U \hookrightarrow X$ es el natural de la incrustación.

Por otro lado, se tiene la secuencia exacta de la cerrada subscheme

$$ 0 \rightarrow \mathcal{I}_Y \rightarrow \mathcal{O}_X \rightarrow \iota_* \mathcal{O}_Y \rightarrow 0.$$

Si $\mathcal{F}$ es localmente libre, entonces podemos tensor de este hasta obtener la secuencia de

$$ 0 \rightarrow \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}_Y \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F} \otimes \iota_* \mathcal{O}_Y \rightarrow 0.$$

Yo siempre había pensado, e incluso denota, tanto las poleas $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F} \otimes \iota_* \mathcal{O}_Y$ $\mathcal{F}|_Y$ (tenga en cuenta que $\mathcal{F} \otimes \iota_* \mathcal{O}_Y = \iota_* (\iota^* \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}_X)$, pero supongo que no puede ser igual desde, por ejemplo, $\mathcal{F}_U \neq \mathcal{F}(-Y)$ - uno es un vector paquete y la otra no. En algún lugar en todos los sheafification cosas, he perdido mi cabeza y estoy buscando alguna intuición acerca de la diferencia entre el$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F} \otimes \iota_* \mathcal{O}_Y$. Por ejemplo, continuando asumir que $\mathcal{F}$ es un vector paquete, el segundo gavilla (creo) debe corresponder a la restricción del vector paquete a$Y$; ¿cuál es la primera gavilla?

Answer 1

Para cualquier gavilla, $i^{-1}\mathcal F$ no cambia los tallos. Usted acaba de tomar los tallos de $\mathcal F$, pero sólo prestar atención a ellos en los puntos de $y$. Así que si $x$ es un punto cerrado en $X$ $i: x \hookrightarrow X$ es la incorporación, $i^{-1} \mathcal O_X$ es, literalmente, el tallo en $x$, es decir,$\mathcal O_{X,x}$.

Esto es un poco diferente de $i^*\mathcal O_{X,x}$, que es el residuo de campo en $x$.

Como habrá adivinado, $i^*$ aplicado localmente libre de poleas corresponde a la restricción del vector de paquetes. El $i^{-1}$ operación no es tan geométricamente significativo para la coherencia poleas (de otra manera que como un paso en el camino hacia la definición de $i^*$), pero es importante para más consideraciones topológicas (por ejemplo, si estuviéramos trabajando con localmente constante o construibles de poleas en la compleja topología de una compleja variedad, o en el etale topología de un esquema; también viene en la prueba de Grothendieck del teorema de fuga, que es puramente topológica de la naturaleza).