Distribución del máximo de variables aleatorias ruidosas

Question

Sea $X_1, \ldots, X_N$ sea $N$ variables aleatorias iid ocultas, todas con la misma distribución estándar, digamos uniforme $\mathcal{U}(0, 1)$ o gaussianos $\mathcal{N}(0, 1)$ (probablemente la más fácil). Observo $N$ variables "ruidosas" correspondientes $Z_n = X_n + \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ . Sé cómo derivar la distribución de $X^* = \max({X_1, \ldots, X_N})$ (y correspondientemente $Z^*$ si el $X$ son gaussianos). Lo que me gustaría saber es cómo calcular la distribución (o al menos la expectativa) de $X_{\mathrm{argmax}_n(Z_n)}$ .

Intuitivamente, si $\sigma^2$ es pequeña mis variables observadas seguirán de cerca a las ocultas, y la distribución se aproximará a $X^*$ mientras que si es grande, estarán dominadas por el ruido, y la distribución será la original del $X$ 's.

Answer 1

Vamos a decir $Z_n = X_n + Y_n$ con $X_n \sim N(0,1)$, $Y_n \sim N(0,\sigma^2)$, y todos los $X_n$ $Y_n$ independiente. Deje $W = X_{{\rm argmax}_n Z_n} = \sum_n X_n \prod_{j \ne n} I_{Z_n > Z_j}$. Por lo tanto $E[W] = N E[X_1 \prod_{j > 1} I_{Z_1 > Z_j}$. Ahora $Z_n \sim N(0,1+\sigma^2)$. Por otra parte $X_1$ $I_{Z_1 > Z_j}$ son condicionalmente independientes dado $Z_1$, por lo que $E[W] = N E[E[X_1 | Z_1] \prod_{j > 1} E[I_{Z_1 > Z_j}|Z_1]] = N E[Z_1 \Phi(Z_1/\sqrt{1+\sigma^2})^{N-1}$. This is $N \sqrt{1+\sigma^2} E[Z \Phi(Z)^{N-1}]$ where $Z \sim N(0,1)$.