Es el $n$-th el primer menor que $n(\log n + \log\log n-1+\frac{\log\log n}{\log n})$?

Question

Deje $p_n$ $n$- ésimo primo. Wikipedia da los siguientes límites en $p_n/n$ al $n\geq6$: $$ \log n+\log\log n-1 \leq \frac{p_n}{n} \leq \log n+\log\log n. $$

Si el primer par de términos en la expansión asintótica para $p_n/n$, así: $$ \frac{p_n}{n} = \log n+\log\log n-1+\frac{\log\log n}{\log n} - \frac{2}{\log n} + O\left(\frac{(\log\log n)^2}{\log^2 n}\right), $$ de ello se sigue que $$ \frac{p_n}{n} < \log n+\log\log n-1+\frac{\log\log n}{\log n} + \frac{c}{\log n}, $$ para $c>-2$ y lo suficientemente grande como $n$. Por lo menos los $n$ que he comprobado sin embargo ($p_n\leq 10^{11}$), me parece que esta desigualdad se cumple con $c=0$$p_n>347$, y también con $c=-1$$p_n > 5393$.

Esto es realmente correcto?

Hay más desigualdad?

Answer 1

Mientras que el examen de Reyna del trabajo acerca de Riemann, de ceros me di cuenta de su reciente papel con Jeremy 'El n-ésimo primer asintóticamente' y pensé que podría ayudar (sin tener el tiempo para elaborar...).

Saber más zeta ceros permitido, de hecho, Pierre Dusart en su $1998$ tesis para la actualización de Rosser y Schoenfeld los resultados anteriores y obtener nuevos límites en $\pi(x)$ (otros resultados están aquí en francés).

Él extendió sus resultados a los límites de $p_n$ en su $1999$ papel de 'El k-ésimo primo es mayor que k(ln(k)+ln(ln(k))-1) para k>=2' y en $2010$ en el papel en el que se encuentran Estimaciones de Algunas de las Funciones de los números Primos sin R. H.' y que contiene, de hecho, precisa : $$\frac{p_n}n\le\ln(n)+\ln(\ln(n))-1+\frac{\ln(\ln(n))-2}{\ln(n)}\quad\text{for}\ n\ge 688383,$$ $$\frac{p_n}n\ge\ln(n)+\ln(\ln(n))-1+\frac{\ln(\ln(n))-21/10}{\ln(n)}\quad\text{for}\ n\ge 3.$$