La topología, el cierre de la definición - y bien definidos?

Question

Me encontré con la siguiente definición para el cierre,

Dado un subconjunto de un espacio topológico $X$, el cierre de $A$ se define como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a $A$.

Cómo es esta definición bien definida? Necesitamos saber si la expresión, $$\bar{A} := \bigcap_{U \in S} U $$ donde $S$ es la colección de conjuntos cerrados que contienen a $A$, existe, y es el único?

(Sabemos $S$ es no vacío como $X \in S$. Pero, ¿por qué hace esto garantiza la existencia de la intersección? De manera más general, es la intersección de los elementos de cualquier vacío colección de conjuntos bien definidos?) Creo que ahora estoy un poco confundido sobre los principios fundamentales de conjuntos.

Puede alguien explicar? Muchas gracias.

EDITAR: Muchas gracias por todas las respuestas. Ahora he leído algunos conceptos básicos de la teoría de conjuntos de Enderton del texto. Aquí está mi intento de probar desde cero (Que es casi el mismo que el de los comentarios). Por favor dígame si alguna información es incorrecta.

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Los tres axiomas que yo uso:

Poder Establecer Axioma (PSA) $$\forall a, \exists B \forall x ( x \in B \Leftrightarrow x \subseteq a)$$

Exstensionality Axioma (EA) $$\forall A \forall B [ \forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B ) \Rightarrow A = B ] $$

Axioma de Separación (AoS) Para cada fórmula $f(x)$ que no contengan $B$, el siguiente es un axioma: $$ \forall t_1 \ldots \forall t_k \forall c \existe B \forall x \in B \Leftrightarrow x \in c, f(x)) $$

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Bien defineness: Dado un Espacio Topológico $(X, \mathcal{T}_X)$$A \subseteq X$. En primer lugar, $\mathcal{T}_X$ es un conjunto bien definido. Esto es debido a que, por el PSA, conjunto $\mathcal{P}(X)$ existe y es única por EA.

Así que por AoS, $\mathcal{T}_X : = \{ x \in \mathcal {P}(X) : f(x) \}$ (donde $f(x)$ es una fórmula de $x$ para su apertura) existe y es única por EA.

Definir la colección de conjuntos cerrados que contiene $A$, $ $ \mathcal{C} := \{ x \in \mathcal{P}(X) : x^c \in \mathcal{T}_X, A \subseteq x \}$$ que existe por AoS y es único por EA. También, $\mathcal{C}$ es no vacío ($X$ está en el conjunto), por lo que $$ \bigcap \mathcal{C} := \{ x \in X : \forall y \in \mathcal{C} x \y \} = \bar{A}$$ de nuevo existe por AoS, y es único por EA, por lo que el cierre está bien definido.

Answer 1

Si usted está confundido acerca de los fundamentos, te sugiero que va sobre el primer capítulo en el libro de Munkres. También me gustaría recomendar la sección de "Antecedentes", en teoría de conjuntos" de estas notas por el Prof. Curtis McMullen, que ilumina la axiomática fundamentos de la teoría de conjuntos conocidos como los axiomas de ZFC, el más utilizado hoy en día.

Como usted dijo, la intersección es a través de una colección no vacía, y por lo tanto no es trivial. Por otra parte, es única, porque no hay nada de eso podría depender; el subconjunto de los conjuntos cerrados que contienen a $A$ es un conjunto bien definido de subconjuntos de a $X$, por lo que la intersección de todos ellos está bien definido (esto se deduce por el axioma IV de McMullen notas, los Sindicatos, y de tomar complementos).

Answer 2

Si $A\in S$,$\bigcap S \subseteq A$. Por lo tanto, por el axioma de separación, $\bigcap S$ si $S\ne\emptyset$. Porque se puede dar como una explícita de la clase builder:

$$\bigcap S=\{x\mid\forall y\in S,x\in y\},$$

es única. Por lo tanto la intersección de cualquier vacío colección de conjuntos es un conjunto bien definido. (La intersección es el conjunto vacío es también bien definido, pero es igual que el universo, $\bigcap\emptyset=V$, que no es un juego.) En topología, sin embargo, queremos más que eso: queremos saber que el cierre sea cerrado, que es la continuación de uno de los axiomas de una topología de cualquier intersección de una colección no vacía de conjuntos cerrados es cerrado.

Answer 3

Seguro, vamos a $S = \{ C | C^c \in \tau, A \subset C \}$.

A continuación, $x \in \overline{A}$ fib $x \in C$ todos los $C \in S$.

Answer 4

Primera $S = \{U : U \mbox{ is closed set containing } $$\}$.

$U\in S$ contiene $A$ $\cap_{U \in S} U$ contiene , por Lo que el Cierre de $A$ está bien definido.