¿Por qué los ángulos son adimensionales y las cantidades como la longitud no lo son?

Question

Entonces mi amigo me preguntó por qué los ángulos no tienen dimensiones, a lo que respondí que es porque pueden expresarse como la relación de dos cantidades -- longitudes.

Ok hasta aquí, todo bien.

Luego vino la pregunta: "En ese sentido, incluso la longitud es una relación. De la longitud de una cosa dada por la longitud de 1 metro. ¿Entonces las longitudes no tienen dimensiones?".

Esto me confundió un poco, realmente no tenía una buena respuesta para darle. Su argumento ciertamente parece ser válido, aunque estoy bastante seguro de que me estoy perdiendo algo crucial aquí.

Answer 1

$\newcommand{\t}{[\text{tiempo}]}\newcommand{\e}{[\text{energía}]}\newcommand{\a}{[\text{ángulo}]}\newcommand{\l}{[\text{longitud}]}\newcommand{\d}[1]{\;\mathrm{d} #1}$Dimensiones vs Unidades:

Quiero hacer una suposición educada sobre por qué los ángulos se consideran adimensionales mientras se realiza un análisis dimensional. Antes de hacer eso, debes tener en cuenta que los ángulos tienen unidades. Simplemente son adimensionales. La definición de la unidad de medida es la siguiente:

Una unidad de medida es una magnitud definida de una cantidad física, definida y adoptada por convención o por ley, que se utiliza como estándar para la medición de la misma cantidad física.

De hecho, hay muchas unidades para medir ángulos como radianes, grados, minutos de arco, segundos de arco, etc. Puedes consultar la página de wikipedia aquí para obtener más información sobre las unidades de ángulos.

La dimensión de un objeto es una cantidad abstracta e independiente de cómo la midas. Por ejemplo, las unidades de fuerza son Newton, que simplemente es $kg \cdot m/s^2$. Sin embargo, las dimensiones de la fuerza son

$$[F] = [\text{masa}] \frac{ [\text{longitud}]} {\t^2}$$

a veces representado como

$$[F] = [M] \frac{[X]}{[T]^2}$$

pero seguiré con la primera convención. La diferencia entre las unidades y las dimensiones es básicamente que las dimensiones de una cantidad son únicas y definen qué es esa cantidad. Sin embargo, las unidades de la misma cantidad pueden ser diferentes, por ejemplo, las unidades de fuerza pueden ser perfectamente $onza \cdot pulgada / ms^2$.

---

Ángulos como Cantidades Adimensionales

En cuanto a por qué nos gusta considerar los ángulos como cantidades adimensionales, daré dos ejemplos y consideraré las consecuencias de que los ángulos tuvieran dimensiones:

Como sabes, la frecuencia angular está dada por

$$\omega = \frac{2 \pi} T \;,$$

donde $T$ es el período de la oscilación. Hagamos un análisis dimensional, como si los ángulos tuvieran dimensiones. Voy a denotar la dimensión de una cantidad con corchetes $[\cdot]$ como hice anteriormente.

$$[\omega] \overset{\text{por definición}}{=} \frac{[\text{ángulo}]}{[\text {tiempo}]}$$

Sin embargo, usando la fórmula anterior tenemos

$$[\omega] = \frac{[2\pi]}{[T]} = \frac{1}{[\text{tiempo}]} \; , \tag 1$$

ya que se considera que una constante es adimensional, descarté el factor $2\pi$.

Esto es algo inconveniente en la noción de análisis dimensional. Por un lado, tenemos $[\text{ángulo}]/\t$, por otro lado, solo tenemos $1/\t$. Puedes decir que el $2\pi$ representa las dimensiones del ángulo, por lo que lo que hice en la ecuación (1) es decir, descartar la constante $2\pi$ como un número adimensional es simplemente incorrecto. Sin embargo, la historia no termina aquí. Hay algunos factores de $2\pi$ que aparecen en las ecuaciones con demasiada frecuencia, que definimos una nueva constante, por ejemplo, la constante reducida de Planck, definida por

$$\hbar \equiv \frac{h}{2\pi} \; ,$$

donde $h$ es la constante de Planck. La constante de Planck tiene dimensiones $\text{energía} \cdot \t$. Ahora, si dices que $2\pi$ tiene dimensiones de ángulos, entonces esto también indicaría que la constante reducida de Planck tiene unidades de $\e \cdot \t / \a$, lo cual es casi absurdo ya que es solo una cuestión de conveniencia que escribimos $\hbar$ en lugar de $h/2\pi$, no porque tenga algo que ver con ángulos como fue el caso con la frecuencia angular.

Para resumir:

• Las dimensiones y las unidades no son lo mismo. Las dimensiones son únicas y te dicen qué es esa cantidad, mientras que las unidades te dicen cómo has medido esa cantidad en particular.

• Si el ángulo tuviera dimensiones, entonces tendríamos que asignar a un número, que no tiene ni unidad ni dimensión, una dimensión, lo cual no es lo que nos gustaría hacer porque puede llevar a malentendidos como fue en el caso de $\hbar$.

---

Edición después de Comentarios/Discusión en Chat con Rex

Si no estás de acuerdo con el enfoque anterior o lo encuentras un poco circular, aquí hay un enfoque mejor: los ángulos son cantidades problemáticas y no se comportan tan bien como quisiéramos. Siempre introducimos un ángulo en una función trigonométrica como el seno o el coseno. Veamos qué sucede si los ángulos tuvieran dimensiones. Tomemos la función seno como ejemplo y aproximémosla mediante la serie de Taylor:

$$\sin(x) \approx x + \frac {x^3} 6$$

Ahora hemos dicho que $x$ tiene dimensiones de ángulos, lo que nos deja con

$$[\sin(x)] \approx \a + \frac{\a^3} 6$$

Observa que tenemos que sumar $\a$ con $\a^3$, lo cual no tiene sentido físico. Sería como sumar $\t$ con $\e$. Dado que no hay forma de evitar este problema, preferimos declarar que $\sin(x)$ es adimensional, lo que nos obliga a hacer el ángulo adimensional.

Otro ejemplo de un problema similar proviene de las coordenadas polares. Como sabrás, el elemento de línea en coordenadas polares está dado por:

$$\d s^2 = \d r^2+ r^2 \d \theta^2$$

Un matemático no tiene problemas con esta ecuación porque no le importan las dimensiones, sin embargo, un físico, que se preocupa profundamente por las dimensiones, no puede dormir por la noche si desea que los ángulos tengan dimensiones, ya que como puedes verificar fácilmente, el análisis dimensional se rompe.

$$[\d s^2]= \l^2 = [\d r^2] + [r^2] [\d\theta^2] = \l^2 + \l^2 \cdot \a^2$$

Tienes que sumar $\l^2$ con $\l^2 \cdot \a^2$ y igualarlo a $\l^2$, lo cual no se hace en física. Es como sumar tomates y papas. Para más información sobre por qué no debes sumar unidades muy diferentes, lee esta pregunta y las respuestas dadas en ella.

Conclusión: Elegimos decir que los ángulos no tienen dimensiones porque de lo contrario nos causarían demasiados dolores de cabeza al realizar un análisis dimensional.

Answer 2

La pregunta de tu amigo es perspicaz pero no está en desacuerdo con tu respuesta anterior.

Cuando comparas la longitud de algo con una unidad (1 metro), la relación es realmente un número sin unidades.

Pero entonces todos los números (1.5, $\pi$, 42) son sin unidades. Cuando deseas determinar la velocidad divides la distancia por el tiempo, cada uno de los cuales tiene unidades. Pero lo que ingreses en tu calculadora serán solo los números, manejas las unidades por separado.

"El corredor recorrió 100 metros en 10 segundos. ¿Cuál fue su velocidad promedio?" Se resuelve calculando la relación numérica 100/10 y sumando la relación dimensional m/s para preservar las unidades. La mayoría de las calculadoras no tienen (ni necesitan) un medio para ingresar unidades (algunos programas informáticos sofisticados sí lo tienen, para ayudarte a evitar errores al mezclar unidades).

Para algunos cálculos físicos necesitas tomar el logaritmo; cuando lo haces, SIEMPRE debes dividir la cantidad por algún factor de escala con las mismas unidades, ya que no es posible tomar el $\log$ de una unidad.

Answer 3

Es posible expresar cualquier cosa como un número adimensional. Vitruvio, un antiguo autor que escribió un libro sobre arquitectura romana que ha sobrevivido, revela que los antiguos romanos hacían sus cálculos hidrostáticos y arquitectónicos en base a fracciones racionales, que son ratios de una cantidad con otra.

Por convención, y porque trabajar con todas las cantidades como ratios sería engorroso y difícil, las cantidades físicas como longitud, tiempo, velocidad, momentum, corriente eléctrica, presión, etc. se expresan en unidades acordadas.

Otra razón para expresar las cantidades físicas en unidades acordadas es que el análisis dimensional podría no ser posible si todas las cantidades físicas se expresaran como ratios. Por lo tanto, trabajar con unidades en lugar de ratios proporciona otra herramienta para verificar y validar ecuaciones físicas, las cuales deben tener las mismas dimensiones en los lados izquierdo y derecho.

Answer 4

Un artículo publicado en Control Systems Magazine por Bernstein, et. al., en diciembre de 2007, y que se centra en la estructura algebraica de las cantidades dimensionales sostiene que el ángulo no debe considerarse necesariamente una cantidad adimensional, sino más bien una unidad adimensional, que se tiene en cuenta a lo largo de un cálculo. El artículo extiende el análisis de unidades a matrices, sistemas lineales y de espacio de estados.

Además, y contrariamente a lo que dice Floris, no hay razón por la cual no se puedan tener funciones no lineales de unidades (por ejemplo, el logaritmo de radianes) al ir de un punto A a un punto B. (¡Pero hay que tener cuidado con las singularidades!) Simplemente debes asegurarte de que cuando llegues a un punto C, donde C es una cantidad observable, las unidades se hayan transformado en unas que tengan un significado físico. La consistencia algebraica es lo que realmente importa.

Y en la conclusión del artículo "Las dimensiones físicas son el vínculo entre los modelos matemáticos y el mundo real". He encontrado que muchos (al menos entre los ingenieros) no prestan suficiente atención a ese hecho.

Answer 5

Es cierto que la longitud se puede expresar como una razón con respecto a 1 metro (o cualquier otra unidad). Pero esa unidad en sí misma, es decir, la idea de "1 metro" en sí misma no carece de dimensiones. Lo que quiero decir es que la unidad "1 metro" en sí misma no se puede expresar como una razón de cantidades similares de las mismas dimensiones; mientras que "1 radian" se puede expresar como la razón de la longitud del arco de "1 metro" al radio de "1 metro".