si $x_{1},x_{2} $ $nx-x^n=a$ dos raíces, muestran que $|x_{1}-x_{2}|<\dfrac{a}{1-n}+2$

Question

Assmue que $n$ ser enteros positivos,y $a$es un número real,y la ecuación $$nx-x^n=a$$ has postive real roots $x_{1},x_{2}$,muestran que $$|x_{1}-x_{2}|<\dfrac{a}{1-n}+2$$

Por condición, me mostró que $$(x_{1}-x_{2})[n-(x^{n-1}_{1}+x^{n-2}_{1}x_{2}+\cdots+x^{n-1}_{2})]=0$$

Pero no sé qué hacer a continuación. Por favor ayuda, Gracias.

Answer 1

Vamos a estudiar la función $f(x)=nx-x^n$ $x>0$. $f'(x)=n(1-x^{n-1})$ así que hay un máximo global en $1$. La función es monótona creciente en $[0,1]$ y la disminución en el $[1,\infty]$. La función alcanza dos veces el mismo valor de $a$ si y sólo si $a\in [0,n-1]$$x\in [0,\sqrt[n-1]{n}]$. Así que para cualquiera de dichas $x_1,x_2$ tenemos en el hecho de $$|x_1-x_2|\leq\sqrt[n-1]{n}\leq 2\leq \frac{a}{n-1}+2.$$

Igualdad de caso: se debe tener $a=0$$2^{n-1}=n$$n=1,2$. Para $n=1$ $f(x)=0$ de forma idéntica (y el texto en realidad no tiene sentido), así que puede ser que desee supongamos $n\geq 2$ desde el principio, y para $n=2$ tenemos $f(x)=2x-x^2$: aquí $x_1=0$ $x_2=1$ nos da la igualdad. En todos los otros casos que hemos desigualdad estricta.

Answer 2

Deje $f(x)=nx-x^n-a$. Entonces por el teorema de Rolle nos, $\exists c\in [x_1,x_2]$ tal que $f'(c)=0\implies c=1$ asumiendo $n>1$. A continuación, $\exists \delta>0$ tal que $x_1=1-\delta, x_2=1+\delta$. Ahora, $$nx_2-x_2^n=a\implies n(1+\delta)-(1+\delta)^n=a\\\implies a=(1+\delta)(n-(1+\delta)^{n-1})\\\implies a<(1+\delta)(n-(1+(n-1)\delta))\\\implies a< (n-1)(1-\delta^2)\\\implies 2(\delta-1)<(\delta^2-1)<\frac{a}{1-n}\\\implies |x_1-x_2|=2\delta<\frac{a}{1-n}+2 $$