Demostrar que $\binom n2 + \binom {n-1}2$ es siempre un cuadrado perfecto

Question

Demostrar que si $n$ es un número entero positivo y $n >1$ : $$\binom n2 + \binom {n-1}2$$ es siempre un cuadrado perfecto.

Sé que tenemos que convertir eso en un binomio, pero no puedo seguir cómo. Tenga en cuenta que soy bastante nuevo en matemáticas discretas. Gracias de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA: $$\binom{n}2=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}2\;.$$ Aplique la misma idea a $\binom{n-1}2$ suma las fracciones resultantes y simplifica.

Alternativamente, si sabe que $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2=\binom{n+1}2$ se puede observar que

$$\color{green}{\binom{n}2=1+2+\ldots+(n-2)+(n-1)}\;,$$

y

$$\color{brown}{\binom{n-1}2=1+2+\ldots+(n-3)+(n-2)}\;.$$

Ahora mira la imagen de abajo:

$$\begin{array}{ccc} &1&2&3&\ldots&n-3&n-2&n-1\\ 1&\color{green}\bullet&\color{brown}\bullet&\color{brown}\bullet&\ldots&\color{brown}\bullet&\color{brown}\bullet&\color{brown}\bullet\\ 2&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet&\color{brown}\bullet&\ldots&\color{brown}\bullet&\color{brown}\bullet&\color{brown}\bullet\\ 3&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet&\ldots&\color{brown}\bullet&\color{brown}\bullet&\color{brown}\bullet\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ n-3&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet&\ldots&\color{green}\bullet&\color{brown}\bullet&\color{brown}\bullet\\ n-2&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet&\ldots&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet&\color{brown}\bullet\\ n-1&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet&\ldots&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet&\color{green}\bullet\\ \end{array}$$

Answer 2

$$\binom{n}{2} + \binom{n-1}{2} = \frac{n!}{(n-2)!2!}+\frac{(n-1)!}{(n-1-2)!2!} = \frac{n(n-1)}{2}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}.$$

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 3

Además del bonito planteamiento de la respuesta de Brian M. Scott, hay otra forma combinatoria de hacerlo utilizando la recursividad de Pascal(es decir $\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}$ ).
$\binom{n-1}{2}+\binom{n}{2}=\binom{n-1}{2}+\binom{n-1}{2}+\binom{n-1}{1}=2\binom{n-1}{2}+\binom{n-1}{1}=2\binom{n-1}{2}+(n-1)$ .
Supongamos que tenemos dos elementos a colorear y tenemos $n-1$ colores (puede hacerlo en $(n-1)*(n-1)$ vías ¿Por qué? ). Hay 2 casos disjuntos, coloreas los dos objetos con el mismo color en $n-1$ formas, o puede colorear los dos objetos con colores diferentes, puede elegir los dos colores en $\binom{n-1}{2}$ formas y para permutar los colores elegidos sólo tienes 2 formas. Usando el principio multiplicativo y el principio de suma, tendrías que $(n-1)^2=2\binom{n-1}{2}+(n-1)$ .

Answer 4

Veamos cuántos pares $(a,b)$ puede formarse utilizando $n-1$ elementos.

De forma directa: $(n-1)^2$ .

De ida y vuelta: Tenemos ${n-1}\choose 2$ pares $(a,b)$ donde $(a,b)$ y $(b,a)$ se cuentan igual (por lo que necesitamos duplicar el recuento), y $(a,a)$ (que son $n-1$ en número) no se contabiliza. Por lo tanto, teniendo en cuenta este subregistro, tenemos $$ 2{{n-1}\choose 2} + {{n-1}\choose 1} = {{n-1}\choose 2} + \underbrace{{{n-1}\choose 2} + {{n-1}\choose 1}}_{{n\choose 2}} = {{n-1}\choose 2} + {{n-1}\choose 1} $$ Así que.., $(n-1)^2$ es igual a ${{n-1}\choose 2} + {{n-1}\choose 1}$ .

Answer 5

Otra respuesta combinatoria

Supongamos que tengo dos urnas. Una tiene los números $1$ a través de $n-1$ en él y el otro tiene esos más una bola roja sin número. Considera la siguiente forma de elegir entre las urnas. Primero elige una urna. Si eliges la urna con la bola roja, coge dos bolas. Si una de las bolas es la roja y la otra es $a$ y, a continuación, llame a su selección $(a,a)$ . En caso contrario, ordena las bolas en orden creciente. Si sacas de la otra urna, debes obtener dos números diferentes, así que ordénalas en orden decreciente. Así pues $\binom n2 + \binom {n-1}{2}$ formas de sacar bolas. Además, las selecciones posibles son exactamente los pares ordenados $(a,b)$ con $a,b$ entre $1$ y $n-1$ posiblemente con una repetición, por lo que hay $(n-1)^2$ de ellos.