Motivar a la pregunta: Si sabemos todo acerca de $\mathbf{Grp}$, lo sabemos todo acerca de los grupos?
Antecedentes: Considerar la categoría de $\mathbf{Grp}$ abstracto, en lugar de como una forma concreta de categoría. Los elementos de un grupo de $G$ puede ser recuperado de la siguiente manera: en primer lugar, identificar el grupo $\mathcal{Z}$ como el único mínima generador (MO/7793), es decir, un generador de tal manera que ningún adecuada cociente es también un generador. Entonces Hom($\mathbb{Z}$,-) representa el olvidadizo functor $\mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$ y recupera los elementos del grupo.
Pregunta:
¿Cómo se puede recuperar el grupo de operación en elementos?
Aquí es un intento inacabado (que alguien menciona): definir el grupo libre en dos generadores por el subproducto $F_2 = \mathbb{Z} \amalg \mathbb{Z}$. Luego de dos elementos del grupo $g_1, g_2 : \mathbb{Z} \to G$, estos mapas se define un mapa de $f : F_2 \to G$ (debido a $F_2$ es un colimit). Por último, supongamos que podríamos categóricamente especificar el mapa de $m : \mathbb{Z} \to F_2, 1 \mapsto xy$ donde $x,y$ son los generadores de $F_2$. A continuación, el grupo de la multiplicación de los elementos $g_1, g_2$ daría el elemento $g_1 g_2 = f \cdot m : \mathbb{Z} \to G$.
En el enfoque anterior, la única tarea restante es de alguna manera especifica el mapa de $m : \mathbb{Z} \to F_2, 1 \mapsto xy$ categóricamente.
Editar (en respuesta al comentario):
Debo mencionar que no seremos capaces de distinguir $m : \mathbb{Z} \to F_2, 1 \mapsto xy$$m' : 1 \mapsto yx$. Lo mejor que podemos esperar es para especificar tanto $m$ $m'$ sin escoger cualquiera de ellos. En otras palabras, cuando se intenta recuperar la multiplicación del grupo, nos puede proporcionar una opción de que el grupo original, la multiplicación o la multiplicación en el frente del grupo, pero no podemos privilegio cualquiera de las opciones. La razón es que el functor enviar a un grupo a su opuesto, el grupo es una función de equivalencia de $\mathbf{Grp}$.
