¿Pueden todas las variedades de Riemann estar incrustadas en una esfera?

Question

El famoso Teorema de Nash afirma que toda variedad riemanniana cerrada puede ser incrustada isométricamente en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ para $n$ suficientemente grande.

¿Es cierto que podemos sustituir $\mathbb{R}^n$ con la esfera redonda $\mathbb{S}^n$ ?

¿Qué pasa con $\mathbb{H}^n$ (espacio hiperbólico) o $\mathbb{T}^n$ (Torus)?

(es decir, estoy preguntando si cualquier colector Riemannianm puede ser incrustado en uno de estos espacios cuando se permite que el espacio ambiente sea de dimensión arbitraria)

Por supuesto, por el teorema de incrustación de Nash, basta con comprobar si el espacio euclidiano puede incrustarse en estas variedades.

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Int}{\mathbf{Z}}$ La respuesta es "sí" en todos los casos:

Espacio hiperbólico :

Espacio euclidiano $\Reals^{n}$ se incrusta isométricamente en $\mathbf{H}^{n+1}$ como horóscopo .

Esferas y Tori :

La descomposición $\Reals^{2m} \simeq (\Reals^{2})^{m}$ da un producto ortogonal de $m$ círculos de radio $\frac{1}{\sqrt{m}}$ en la esfera de la unidad $S^{2m-1}$ . La línea euclidiana $\Reals$ puede ser incrustado isométricamente en un plano $S^{1} \times S^{1}$ (con círculos de radio positivo igual y arbitrario  $r$ ). Por ejemplo, tomemos una parametrización de la longitud de onda del camino $$ t \mapsto (t, r\arctan t), $$ cuya imagen se encuentra en $\Reals \times (-\frac{1}{2} \pi r, \frac{1}{2} \pi r) \subset \Reals \times \Reals$ :

Dividir por la red cuadrada $2\pi r\Int \times 2\pi r\Int$ para obtener una incrustación isométrica en un toro cuadrado. (El cuadrado del diagrama anterior es un dominio fundamental para la red).

De ello se desprende que el euclidiano $\Reals^{n}$ puede ser incrustado isométricamente en un $(2n)$ -toro de dimensiones $(S^{1} \times S^{1})^{n}$ cuyos círculos tienen igual radio, y un toro "convenientemente pequeño" de este tipo se incrusta isométricamente en la esfera unitaria $S^{4n - 1}$ .

Answer 2

$\newcommand{\til}{\tilde}$ $\newcommand{\al}{\alpha}$

Estoy escribiendo una respuesta (más detallada) basada en la respuesta de Andrew D. Hwang y en los comentarios de studiosus:

En primer lugar, partimos de las siguientes observaciones:

$(1)$ Un producto de incrustaciones isométricas es una incrustación isométrica:

Más concretamente, supongamos que $f:(M,g) \to (N,h)\, \,, \, \,\til f:(\til M,\til g) \to (\til N,\til h) $ son incrustaciones isométricas. Entonces el mapa $f \times \til f:(M \times \til M,g \oplus \til g) \to (N \times \til N,h \oplus \til h)$ es una incrustación isométrica (donde $g \oplus \til g,h \oplus \til h$ son el estándar métricas del producto ).

Por supuesto, esto sigue siendo cierto para cualquier número finito de productos.

$(2)$ Un producto de un número finito de Toros planos, es isométrico a un Toro plano:

Prueba:

El toro plano $\mathbb{T}^n=\mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$ es isométrica con respecto a $(\mathbb{S}^1_{\frac{1}{2\pi}})^n$ (producto de $n$ copias de círculos con radio $\frac{1}{2\pi}$ ). Por lo tanto, $\mathbb{T}^n \times \mathbb{T}^m \cong (\mathbb{S}^1_{\frac{1}{2\pi}})^n \times (\mathbb{S}^1_{\frac{1}{2\pi}})^m \cong (\mathbb{S}^1_{\frac{1}{2\pi}})^{n+m}=\mathbb{T}^{n+m}$

Observaciones $(1),(2)$ implican que si $\mathbb{R}$ es isométricamente incrustado en un toro plano, entonces también lo es $\mathbb{R}^n$ .

También necesitamos los dos resultados siguientes:

Lema (1): $\mathbb{R}$ puede ser incrustado isométricamente en $\mathbb{S}^1_a \times \mathbb{S}^1_a$ para un valor positivo arbitrario $a$ . (Al menos necesitamos $a=\frac{1}{\sqrt{2n}}$ para cada natural $n$ y $a=\frac{1}{2\pi}$ ).

Corolario (1): $\mathbb{R}$ se puede incrustar en un toroide plano $\mathbb{T}^2$ (El caso de $a=\frac{1}{2\pi}$ ). También, $\mathbb{R}^n$ se puede incrustar en un toroide plano $\mathbb{T}^{2n}$ .

Lema (2): Un producto de $m$ círculos de radio $\frac{1}{\sqrt m}$ se puede incrustar isométricamente en la esfera unitaria $\mathbb{S}^{2m−1}$ ;

Prueba del lema (2):

La inclusión $\mathbb{S}^1_{\frac{1}{\sqrt m}} \subseteq \mathbb{R}^2$ es una inmersión isométrica (por definición). Ahora toma la $m$ -producto de esta incrustación (y la observación del uso $(1)$ ). Obsérvese que la imagen está contenida en la esfera unitaria $\mathbb{S}^{2m−1} \subseteq \mathbb{R}^{2m}$ .

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Proposición (1): $\mathbb{R}^n$ se puede incrustar isométricamente en $\mathbb{S}^{4n-1}$

Utilizando Lema1 (con $a= \frac{1}{\sqrt {2n}}$ ), obtenemos que $\mathbb{R}$ está incrustado isométricamente en $\mathbb{S}^1_\frac{1}{\sqrt {2n}} \times \mathbb{S}^1_\frac{1}{\sqrt {2n}}$ por lo que (observación $(1)$ de nuevo) $\mathbb{R}^{n}$ está incrustado isométricamente en $\big( \mathbb{S}^1_\frac{1}{\sqrt {2n}} \times \mathbb{S}^1_\frac{1}{\sqrt {2n}} \big)^n \cong \big( \mathbb{S}^1_\frac{1}{\sqrt {2n}} \big) ^{2n}$ que por el lema (2) (con $m=2n$ ) se puede incrustar isométricamente en $\mathbb{S}^{4n-1}$ .

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Prueba parcial del lema(1):

Utilizaremos una versión de La espiral de Euler . Dejemos que $c >0$ y definir

$\al(t)= \frac{1}{c} (\int_0^{ct} \cos(s^2)ds,\int_0^{ct} \sin(s^2)ds)$ ,

$\al$ es claramente una inmersión isométrica suave. De hecho, es una inmersión isométrica $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ con imagen acotada. (En realidad esto no es trivial, véase esta pregunta . Para otra construcción de una incrustación isométrica de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^2$ con imagen acotada ver aquí ).

Dado que las integrales que definen $\al$ están acotados, eligiendo $c$ sea arbitrariamente grande, podemos conseguir que la imagen esté contenida en un disco arbitrariamente pequeño.

Desde $\mathbb{S}^1_a \times \mathbb{S}^1_a$ es plana, es localmente isométrica a un disco en $\mathbb{R}^2$ . Por la discusión anterior, no importa cuál sea el tamaño del disco, podemos pensar en nuestro $\alpha$ (para un valor adecuado $c$ ) como una incrustación isométrica en ese disco, por tanto en $\mathbb{S}^1_a \times \mathbb{S}^1_a$ según sea necesario.