Estoy leyendo el libro de Milne Curvas elípticas y me encontré con esta declaración: Si una curva proyectiva no singular tiene una estructura de grupo definida por mapas polinómicos, entonces tiene género 1. En esta pregunta se hizo una pregunta similar, y una respuesta dada allí (la que no fue aceptada) alguien respalda esto usando una maquinaria/notación que no entiendo. ¿Puede alguien dar o dirigirme a una prueba de esta afirmación? No tiene que ser muy formal; esto no es una tarea. Además, en el caso afín esta afirmación se rompe claramente - la línea afín tiene la estructura de grupo de la adición, por ejemplo. ¿Hay algún tipo de corrección o la estructura de grupo no tiene relación con el género en este caso?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para formalizar este hecho de otra manera, si $X$ es una variedad que es un grupo, entonces la gavilla canónica $\omega_{X}$ debe ser trivial. La razón intuitiva es que hay una forma canónica de identificar el espacio tangente $T_{x}$ en cualquier punto $x \in X$ con el espacio tangente $T_{e}$ en la identidad. (Es decir, el mapa $y \leadsto y * x^{-1}$ ).
Si $X$ es una curva, entonces Riemann-Roch implica que $deg(K) = 2g-2$ , donde $K$ es el divisor correspondiente a $\omega_{X}$ . Desde $\omega_{X}$ es trivial, $deg(K) = 0$ . Esto implica que $g = 1$ .
Glutinous
Puntos
206
Para las curvas algebraicas complejas, esto es realmente muy fácil. Supongamos que tenemos una ley de grupo algebraico en una curva algebraica compleja. Entonces es necesariamente continua en una topología clásica, por lo que obtenemos un grupo topológico. Ahora, un grupo fundamental de un grupo topológico tiene que ser abeliano (esto es un ejercicio interesante y no tan difícil). Pero, ¡las curvas con género > 1 no tienen grupos fundamentales abelianos!
ConnectifyTech
Puntos
21
Acepté otra respuesta, pero voy a publicar una forma más elemental (desde mi punto de vista) de demostrarlo. La fórmula de Riemann-Hurwitz da la bonita cota $|\text{Aut}(\mathcal{C})| < \infty$ para un $g(\mathcal{C}) > 1$ (supondremos la característica cero para que todos los mapas sean dócilmente ramificados). Pero cada punto da el automorfismo de traslación, y todos ellos son claramente distintos, con lo que obtenemos una contradicción para $g(\mathcal{C}) > 1$ . Entonces la pregunta es: ¿tiene la línea proyectiva una ley de grupo? Por supuesto que no, pues entonces una curva hiperelíptica $E$ ( $g(E) > 1$ ) también tendría uno. La idea es que si seleccionamos un mapa de grado 2 $f \colon E \to \mathbb{P}^1$ , totalmente ramificado, entonces debe ser inyectivo, por lo que podemos retirar la ley del grupo.
