Dejemos que $\int_{- \infty}^{\infty} f(x) dx =1$ . Entonces demuestre que $ \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1+ f(x)} dx = \infty.$

Question

Dejemos que $f : \mathbb{R} \to [ 0, \infty)$ sea una función medible. Si $\int_{- \infty}^{\infty} f(x) dx =1$ . Entonces quiero mostrar que $ \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1+ f(x)} dx = \infty.$

Se agradecerá cualquier ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

$$\int_{-c}^c \frac{1}{1+f(x)}\, dx = \int_{-c}^c \frac{1+f(x)}{1+f(x)} \, dx - \int_{-c}^c \frac{f(x)}{1+f(x)} \, dx \\ = 2c - \int_{-c}^c \frac{f(x)}{1+f(x)} \, dx \\ \geqslant 2c - \int_{-c}^c f(x) \, dx$$

Answer 2

El conjunto $E=\{x\,:\,f(x)>1\}$ tiene una medida finita, ya que en caso contrario $\int_{\mathbb{R}} f\ge \int_E f \ge |E| = \infty$ . Así que $\mathbb{R}\backslash E$ tiene una medida infinita y así obtenemos

$$\int_{-\infty}^\infty \frac1{1+f(x)} dx \ge \int_{\mathbb{R}\backslash E} \frac{1}{2} dx = \infty$$

porque $f(x)\le 1$ para $x\in \mathbb{R}\backslash E$ .