Grupo de acción sobre una categoría

Question

Motivar ejemplo: Tenemos un functor de la categoría de espacios vectoriales reales a la categoría de complejo de espacios vectoriales por complexifying (es decir, tensoring$\mathbb{R}$$\mathbb{C}$). Deje $\sigma$ el valor complejo de la conjugación. Esto induce un functor, $\sigma^*$, a partir de la categoría de complejo de espacios vectoriales en sí misma, también por tensoring con $\mathbb{C}$, pero más del $\mathbb{C}$ y a través de $\sigma$. La imagen de este puede ser identificada con la de los pares de $(V,f)$ de los complejos espacios vectoriales $V$ junto con un morfismos $\sigma^*V\rightarrow V$, s.t. $f\circ \sigma^*f=\operatorname{id}_V$ donde nos secretely identificar a $(\sigma^*)^2V$$V$.

Pregunta: ¿Cuál sería la buena idea de un grupo que actúa en una categoría que decir en el ejemplo anterior que los puntos fijos de la acción son, precisamente, los verdaderos espacios vectoriales?

Observaciones:

• En particular, esta noción también debería funcionar para cualquier galois extensión de campo $L|K$ y el grupo de $Gal(L|K)$ actuando en la categoría de $L$ espacios vectoriales (O similar categoría que puede ser construido a partir de él)

• La pregunta surgió cuando estaba leyendo acerca de algunos abstractos aspectos de la teoría de Hodge, donde a veces uno considera (la categoría) "complejo de estructuras de Hodge", ha $Gal(\mathbb{C}|\mathbb{R})$ y quiere identificar la real Hodge estructuras como puntos fijos en virtud de un $Gal(\mathbb{C}|\mathbb{R})$. Esto se puede hacer de forma similar a como en el ejemplo muy motivador, pero me preguntaba si había un marco general para hacer esto.

Answer 1

Hay dos posibilidades. Uno es el "ingenuo" o "estricto" noción. Un estricto $G$-acción en una categoría $\mathcal{C}$ es un grupo homomorphism $G \to \mathrm{Aut} (\mathcal{C})$ donde $\mathrm{Aut} (\mathcal{C})$ es el grupo de automorfismos de a $\mathcal{C}$. Los puntos fijos de un estricto $G$-acción en $\mathcal{C}$ se definen de la manera obvia y forman una subcategoría.

La mejor idea es esta. Un pseudo $G$-acción en una categoría $\mathcal{C}$ se compone de los siguientes datos:

• Para cada elemento $g \in G$, un functor $g_* : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$.
• Para la unidad de elemento $e$$G$, un isomorfismo $\eta : \mathrm{id}_\mathcal{C} \Rightarrow e_*$.
• Para cada par $(g, h)$ de los elementos de $G$, un isomorfismo $\mu_{g, h} : g_* \circ h_* \Rightarrow (g h)_*$.

Estos isomorphisms están sujetos a la coherencia de las condiciones: \begin{align} \mu_{g, e} \bullet (\mathrm{id}_{g_*} \circ \eta) & = \mathrm{id}_{g_*} \\ \mu_{e, g} \bullet (\eta \circ \mathrm{id}_{g_*}) & = \mathrm{id}_{g_*} \\ \mu_{g, h k} \bullet (\mathrm{id}_{g_*} \circ \mu_{h, k}) & = \mu_{g h, k} \bullet (\mu_{g, h} \circ \mathrm{id}_{k_*}) \end{align} Dado un pseudo $G$-acción en $\mathcal{C}$, un punto fijo es un objeto $X$ $\mathcal{C}$ junto con un isomorfismo $\lambda_g : X \to g_* X$ por cada elemento de a $g \in G$, de tal manera que $g_* (\lambda_h) \circ \lambda_h = \lambda_{g h}$ para cada par $(g, h)$ de los elementos de $G$. Es evidente que existe una noción de morfismos de puntos fijos, y tenemos una categoría de puntos fijos.

Dado un número finito de campo de Galois de la extensión de $K \hookrightarrow L$, la categoría de $L$-espacios vectoriales tiene una evidente estricto $\mathrm{Gal} (L | K)$-acción. Por desgracia, los puntos fijos de esta estricta de acción son el cero-dimensional $L$-espacios vectoriales. Por otro lado, cualquier estricto de la acción es también un pseudo acción, y se puede mostrar que la categoría de puntos fijos de la pseudo acción es equivalente a la categoría de $K$-espacios vectoriales en una forma canónica.

Por cierto, el anterior es un ejemplo de fidelidad plana descenso.