A la hora de diferenciar que suelen tener un límite y la caída de los términos infinitesimales.
Pero lo que si no se caiga nada?
En primer lugar, ampliamos los números reales con un elemento infinitesimal de $\varepsilon$, que tiene su propio inverso $1/\varepsilon=\omega$.
Y definir el pleno de la derivada de una función formalmente de la siguiente manera:
$$D_{completo}[f(x)]=\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon}$$
Ahora podemos calcular completo derivados de polinomios en forma cerrada:
$$D_{completo}[a]=0$$ $$D_{completo}[ax]=$$ $$D_{completo}[x^2]=2x+\varepsilon$$ $$D_{completo}[x^3]=3 x^2+3 \varepsilon x+\varepsilon ^2$$
etc.
También podemos encontrar una función que permanece invariable en contra de la diferenciación completa. No es exponente con base de $e$, aunque. Para encontrarlo debemos resolver la ecuación:
$$\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon}=f(x)$$
La solución es un conjunto de funciones
$$C (\varepsilon +1)^{\frac{x}{\varepsilon }}$$
de los cuales el más simple es
$$(\varepsilon +1)^{\frac{x}{\varepsilon }}$$
Lo podemos llamar "completa el exponente" y re-definir trigonométricas y funciones trigonométricas inversas en consecuencia. Por ejemplo, la plena logaritmo, el seno y el coseno de convertirse en
$$\operatorname{flog}\,\,x=\frac{\varepsilon \ln(x)}{\ln(\varepsilon + 1)}$$
$$\operatorname{fsin}\,\,x=\frac{ (1+i\varepsilon)^{x/\varepsilon }-(1-i\varepsilon )^{x/\varepsilon }}{2}$$
$$\operatorname{los fco}\,\,x=\frac{ (1+i\varepsilon)^{x/\varepsilon }+(1-i\varepsilon )^{x/\varepsilon }}{2}$$
etc (estos seno y completa coseno satisfacer la ecuación $f"=-f$, con plena derivados).
Las mismas expresiones para la diferenciación se produce en la escala de tiempo de cálculo con un parámetro de escala. Me pregunto si alguien ha pensado alguna vez en una operación de este tipo de "diferenciación", en el marco de la no-estándar de análisis o escalas de tiempo o de lo contrario, y si tiene algún nombre establecido?
Tenga en cuenta que también podemos de una manera similar definir la inversa del operador, "full integral", que sería
$$\int_{completo} f(x)dx=\varepsilon \lim_{t\to x/\varepsilon} \sum_t f(\varepsilon t)$$
donde $\sum_t$ es indefinido suma.
Así tenemos
$$\int_{completo}\, dx=ax$$
$$\int_{completo} x \,dx=\frac{x^2}{2}-\frac{\varepsilon x}{2}$$
$$\int_{completo} x^2 \,dx=\frac{x^3}{3}-\frac{\varepsilon x^2}{2}+\frac{\varepsilon ^2 x}{6}$$
$$\int_{completo} a^x \,dx=\frac{\varepsilon a^x}{a^{\varepsilon }-1}$$
$$\int_{completo} \sin x \,dx=-\frac{1}{2} \varepsilon \sin (x)-\frac{1}{2} \varepsilon \cuna \left(\frac{\varepsilon }{2}\right) \cos (x)$$
etc.
Tenga en cuenta también que podemos definir completo derivado de una forma más simétrica manera:
$$D_{símbolo}[f(x)]=\frac{f(x+\varepsilon)-f(x-\varepsilon)}{2\varepsilon}$$
Con esta definición de algunas fórmulas se vuelven más simple:
$$D_{símbolo}[e^x]=\frac{e^x \sinh (\varepsilon )}{\varepsilon }$$
$$D_{símbolo}[\sin x]=\frac{\sin (\varepsilon ) \cos (x)}{\varepsilon }$$
$$D_{símbolo}[1/x]=\frac{1}{\varepsilon ^2-x^2}$$
El invariante de la función de esta operación, jugando el papel de exponente será
$$f(x)=\left(\sqrt{\varepsilon ^2+1}+\varepsilon \right)^{x/\varepsilon }$$
