¿Por qué elegir trabajar en una estricta categoría monoidal sin pérdida de generalidad?

Question

Deje $\mathcal A$ ser una categoría monoidal. Sabemos que $\mathcal A$ es monoidally equivalente a un estricto categoría monoidal $\mathcal A^{\mathrm{str}}$. En muchos libros o papeles es de suponer sin pérdida de generalidad que $\mathcal A$ es de estricta para hacer las cosas más fácil y no tiene que preocuparse acerca de asociador y unitor isomorphisms. Pero ¿cómo puedo saber que cosas puedo probar acerca de la $\mathcal A$ en el estricto caso también llevará a cabo si $\mathcal A$ no es estricta?

Aquí es un ejemplo claro de lo que estoy hablando. Suponga $\mathcal A$ es un trenzado de categoría monoidal y supongamos $(C, \Delta, \epsilon), (C', \Delta' , \epsilon')$ son coalgebras en $\mathcal A$. Esto significa $\Delta \colon C \to C \otimes C$ es una de morfismos y $\epsilon \colon C \to I$ es una de morfismos tal que $(1 \otimes \Delta)\Delta = \alpha_{C,C,C}(\Delta \otimes 1)\Delta$ $1_C = \rho_C (1 \otimes \epsilon)\Delta = \lambda_C(\epsilon \otimes 1) \Delta$ (y lo mismo para $C'$). Quiero mostrar que la $C \otimes C'$ se convierte en un coalgebra. Lo hace, y el comultiplication $\tilde \Delta$ está dado por $$C \otimes C' \xrightarrow{\Delta \otimes \Delta'} (C \otimes C) \otimes (C' \otimes C') \xrightarrow{\alpha} C \otimes (C \otimes (C' \otimes C') \xrightarrow{1 \otimes \alpha} C \otimes ((C \otimes C') \otimes C') \xrightarrow{1 \otimes(\sigma_{C,C} \otimes 1)} C \otimes ((C' \otimes C) \otimes C') \xrightarrow{1 \otimes \alpha^{-1}} C \otimes ( C' \otimes (C \otimes C'))\xrightarrow{\alpha^{-1} } (C \otimes C) \otimes (C' \otimes C')$$ Sin embargo, esto es absolutamente terrible y la comprobación de que se da un comultiplication es insoportable. En el estricto caso es mucho más fácil, ya que todos los $\alpha$'s va a desaparecer. ¿Cómo puedo estar seguro de que (en general) que si un diagrama de desplazamientos en el estricto caso, a continuación, se conmuta en la no-estricta caso con todos los extra isomorphisms?

Answer 1

Como Zhen Lin señaló, la coherencia teorema es básicamente equivalente a afirmar que, para cada camino de $\langle f_1,..,f_n\rangle$ 1 de las células, entre 2 entre paréntesis la composición de la ruta (por ejemplo, entre las $\left(\big((f_1f_2)f_3\big)..f_n\right)$$f_1\left(\big( f_2 f_3\big)f_4... \right)$ ), existe un único isomorfismo construido por el asociador y de la unidad de isomorphisms. Formalmente, hay, por supuesto, más tal isomorfismo, pero el teorema sólo los estados que todos coinciden.

Tom Leinster tiene otro enfoque, llamado así imparcial monoidal (o dos) categorías, que escrito en forma simplificada palabras, considera no sólo los binarios de productos a priori, pero en un $n$veces producto (sin paréntesis) para todos los caminos de longitud $n$, como operación básica. Entonces, la coherencia se convierte en axioma que requiere que, para cualquier ruta de acceso de 1-células, si se "ponga 2 pares de (discontinuo) entre paréntesis', entonces no importa que uno se evalúa en primer lugar -es decir, estos son los desplazamientos plazas, por ejemplo, $f_1f_2f_3f_4\to (f_1f_2)f_3f_4 \to (f_1f_2)(f_3f_4)$ y $f_1f_2f_3f_4\to f_1f_2(f_3f_4) \to (f_1f_2)(f_3f_4)$ deben de coincidir. (Tenga en cuenta que los términos centrales son 3 veces las composiciones.)

Tenga en cuenta también que permitir que los caminos de longitud $0$ (como los vértices) define la unidad 1-celda(s) y proporciona la unidad de coherencia isomorphisms..

A partir de esto, la coherencia teorema es muy fácil de ver, por simple inducción. (Sin embargo, para demostrar que tenemos la "misma especie" de monoidal (o dos) concepto de categoría, tenemos que usar el original coherencia teorema..)