¿Cómo funciona la integral de contorno?

Question

Puede ser una pregunta vaga, pero no puedo evitar preguntar qué es tan poderoso en la integral de contorno que hace posible calcular ciertas integrales reales impropias que son aparentemente muy difíciles de calcular por el método de cálculo de variables reales.

Answer 1

El poder de la integración de contornos en el plano complejo reside en el concepto de función analítica - resulta que una integral sobre un contorno cerrado en el plano complejo de una función que es analítica en el interior de ese contorno es cero. Acabo de recitar una interpretación del teorema de Cauchy, que es el teorema fundamental de la integración compleja, si es que existe.

El teorema de Cauchy se encuentra en el corazón de gran parte del análisis complejo. Pero limitemos nuestra discusión a la evaluación de integrales definidas de funciones de valor real de variables reales. ¿Por qué es útil el teorema de Cauchy? Porque el teorema dice muy poco sobre la forma exacta del contorno, sólo que la función no tiene singularidades (polos, puntos de ramificación) en el contorno. Esto nos permite una extraordinaria libertad para expresar una integral de valor real como una pieza de un contorno cerrado.

Además, si la función que estamos integrando no es analítica dentro del contorno en puntos discretos -de nuevo, debido a un polo o punto de bifurcación- entonces podemos deformar el contorno para excluir esos puntos. En el caso de un polo, las exclusiones adquieren una geometría mágica propia. El resultado es el teorema del residuo, en el que podemos pretender que está bien que una función tenga polos aislados dentro del contorno, y que la integral del contorno está relacionada con la suma de los residuos de los polos dentro del contorno. En el caso de los puntos de bifurcación, las cosas no son tan sencillas, pero normalmente acabamos utilizando el teorema de Cauchy para expresar nuestra desagradable integral de valor real en términos de una integral de valor real diferente pero más sencilla sobre el punto de bifurcación.

Los ejemplos más sencillos que se dan en los cursos estándar de análisis complejo implican semicírculos en los que el diámetro de un semicírculo está en el eje real. Normalmente hay un polo dentro del semicírculo, y la integral sobre la parte circular suele ser cero cuando el radio es lo suficientemente grande. Por lo tanto, la integral sobre la línea real es igual a un residuo de un polo, que es muy fácil de calcular.

Sin embargo, no nos limitamos a estos ejemplos tan fáciles. Como he dicho, el dominio de esta técnica conduce a una vertiginosa gama de contornos e incluso funciones analíticas que devuelven el valor de la integral deseada con muy poco trabajo adicional. Por favor, eche un vistazo a lo largo de este sitio, especialmente en la sección contorno-integración etiqueta, para ver las posibilidades de las que es capaz el teorema de Cauchy.

Answer 2

$\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Res}{Res}$ En la situación prototípica, supongamos $f$  es una función meromorfa en el plano complejo, es decir, una función con singularidades aisladas que es holomorfa en el complemento  $U$ de su conjunto de puntos singulares.

Gracias al teorema de Cauchy (también conocido como teorema de Green aplicado a las partes real e imaginaria), el meromorfo $1$ -forma $f(z)\, dz$ satisface una notable propiedad de invariabilidad: Si $\gamma_{1}$  y $\gamma_{2}$ son curvas cerradas a trozos en  $U$ (o más generalmente, $1$ -es decir, las sumas formales de tales curvas con coeficientes enteros) que tienen el mismo número de enrollamiento alrededor de cada singularidad de  $f$ entonces $$ \int_{\gamma_{1}} f(z)\, dz = \int_{\gamma_{2}} f(z)\, dz. $$ En particular, si $\gamma$  encierra un conjunto finito de singularidades de  $f(z)\, dz$ la integral de  $f(z)\, dz$ alrededor de  $\gamma$ es la suma de los residuos correspondientes de  $f$ multiplicado por el número de bobinado de  $\gamma$ sobre la singularidad. En símbolos, si $\gamma$  encierra singularidades $(z_{j})_{j=1}^{k}$ con números de bobinado $(n_{j})_{j=1}^{k}$ entonces $$ \int_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{j=1}^{k} n_{j} \Res(f, z_{k}). \tag{1} $$

El residuo de una función meromorfa en una singularidad aislada  $z_{0}$ es el coeficiente de  $(z - z_{0})^{-1}$ en la expansión de Laurent de  $f$ sobre  $z_{0}$ . (Esta es la única potencia entera de  $(z - z_{0})$ cuya integral sobre un pequeño bucle centrado en  $z_{0}$ es distinto de cero, precisamente porque esta potencia no admite ninguna primitiva meromórfica en una vecindad puntuada de  $z_{0}$ .)

Entendido todo esto, la integración de contornos funciona cuando alguna integral real puede convertirse en una trayectoria cerrada a trozos  $\gamma$ en el plano complejo (o en la esfera de Riemann, o en alguna otra superficie de Riemann, como cuando se trabaja con funciones elípticas o funciones que tienen cortes de rama) de tal manera que

1. El residuo total de $f(z)\, dz$ sobre  $\gamma$ puede ser evaluado;

2. La integral original es una expresión algebraica manejable en el residuo total.

En resumen, la integración compleja permite "localizar" una integral de contorno (global) a ciertos coeficientes de series de potencia en las singularidades de  $f(z)\, dz$ .

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Para ilustrarlo, consideremos la integral $$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\, dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\, dx $$ Un enfoque es escribir $\cos x - i\sin x = \exp(-ix)$ lo que lleva a considerar la función meromorfa $f(z) = \exp(-iz)/z$ . Esta función:

• Tiene un poste en  $0$ con $\Res(f, 0) = 1$ y una singularidad esencial en  $\infty$ ;

• decae exponencialmente a medida que $\Im z \to + \infty$ .

Uno se ve llevado a considerar, por $0 < \delta < R$ arbitraria, los contornos de la "media junta" que consiste en el segmento de  $\delta$ a  $R$ el semicírculo en sentido contrario a las agujas del reloj desde  $R$ a  $-R$ en el semiplano superior; el segmento desde  $-R$ a  $-\delta$ y el semicírculo de las agujas del reloj desde  $-\delta$ a  $\delta$ en el semiplano superior. (Ejercicio: Dibuja este contorno en la esfera de Riemann para ver cómo "bordea" las singularidades de  $f$ .)

Por el teorema del residuo (1), la integral sobre cada uno de estos contornos desaparece. Tomemos los límites como $\delta \to 0^{+}$ y $R \to +\infty$ . Las integrales sobre los segmentos se aproximan a la integral deseada $$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\, dx; $$ la integral sobre el gran semicírculo converge a  $0$ porque el integrando decae exponencialmente en el semiplano superior; la integral sobre el semicírculo pequeño converge a $-\frac{1}{2} \Res(f, 0) = -\frac{1}{2}$ . Uniendo las piezas, el teorema del residuo da $$ -\pi i = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-ix}}{x}\, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x - i\sin x}{x}\, dx. $$ (Técnicamente la integral impropia diverge; la ecuación anterior realmente implica su valor principal .) Al igualar las partes real e imaginaria se obtiene la evaluación esperada $$ \pi = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\, dx. $$

Answer 3

Como se ha mencionado en los comentarios, la razón por la que podemos cambiar/deformar los contornos se debe a una versión generalizada del Teorema de Stoke. Que tiene una explicación muy intuitiva aquí en la Wikipedia, véase los principios subyacentes. Aquí hay otra aquí . La razón por la que funciona es porque el rizo de una función compleja es $0$ .

Los círculos son muy fáciles de parametrizar. Por eso integramos (generalmente) los círculos en lugar de, por ejemplo, los triángulos. Esto se debe a La identidad de Euler .

Además, estamos acostumbrados a escribir series de potencias para las variables. Sin embargo, en algunos casos, a veces necesitamos, y como verás, a menudo deseamos potencias negativas. Esto motiva la discusión de las series de Laurent.

Así que cuando integramos sobre una curva, $C(\theta)$ multiplicamos por un diferencial $dC(\theta)$ tal que

$$(1) \quad dC(\theta)=C(\theta+d\theta)-C(\theta)$$

Multiplicar y dividir el lado derecho de $(1)$ por $d\theta$ los levantes,

$$(2) \quad dC(\theta)= \cfrac{dC}{d\theta} \cdot dt$$

Así que,

$$(3) \quad \int_C f(C(\theta)) \ dC(\theta)=\int f(C(\theta)) \cdot \cfrac{dC}{d\theta} \ d\theta$$

El significado de $(3)$ es la siguiente. La integral de línea de una función $f(x)$ sobre una curva $C(\theta)$ da el valor medio de $f \cdot \cfrac{dC}{|dC|}$ en esa curva multiplicada por la longitud de la misma.

Si acepta esta afirmación, podemos simplemente sustituir las funciones en cuestión. Sin embargo, ese no es realmente el problema, ¿verdad?

En primer lugar, abordemos una cuestión importante: ¿por qué $(3)$ promedio sobre $f \cdot \cfrac{dC}{|dC|}$ ?

Habrá que echarle un poco de imaginación, pero se puede dar una explicación razonable. Imagina $f(t)$ da la velocidad de una persona que camina en un momento determinado. Si es positivo, está caminando hacia la derecha. Si es negativo, está caminando hacia la izquierda. Ahora imaginemos que estamos viendo esto en un televisor y no en la vida real. Si aceleramos el tiempo, avanzando rápidamente, la persona parecería caminar más rápido. Si rebobinamos la persona cambiaría de dirección. Sin embargo, si tenemos un tiempo real $p$ entonces podemos saber la hora en el televisor haciendo $t$ en función del tiempo real $p$ . Ahora bien, si $dt$ es negativo, sabemos que el tiempo en el televisor está retrocediendo. Sin embargo, si la velocidad de la persona sigue siendo positiva, sabemos que el verdadero velocidad, en relación con el observador en el momento $p$ es realmente negativo. Así que si queremos conocer la velocidad media de la persona, no basta con ver la televisión, también hay que saber cómo avanza el tiempo. Por eso $(3)$ puede ser negativo. Sin embargo, si el tiempo progresa normalmente con respecto al observador, la relación se convierte en la unidad.

Así que, en resumen $(3)$ medias, pero lo hace con respecto a la dirección. Lamentablemente, explicar el tiempo imaginario, llevaría mucho tiempo real, así que tendremos que conformarnos con la frase anterior en lugar de la analogía del tiempo.

Sin embargo, recordemos que la multiplicación por un número complejo $v$ gira el multiplicando $w$ por $arg(v)$ grados/radianes y escalas por $|v|$ en el plano complejo. Para una explicación y revisión más profunda, véase aquí .

Así que, $\cfrac{dC(\theta)}{|dC(\theta)|}$ da la diferencial normada, la dirección de la diferencial, en un ángulo $\theta$ .

Imagina líneas que van desde el origen hasta un punto en $C$ . A continuación, imagina otra línea que parta de ese punto y que sea tangente en sentido contrario a las agujas del reloj a lo largo de la curva. Mueve esta nueva línea y coloca su cola en el origen. Así, deberías ver una línea que representa $C(t)$ entonces también debería ver otra línea que representa la dirección de $dC$ . Obsérvese que para el círculo complejo, $90^o$ separa estas líneas. Dado que la multiplicación puede girar, la dirección de $dC$ es $C$ girado por $90^o$ . Mejor aún,

$(4) \quad dC=i \cdot C$

$\Rightarrow arg(dC)=arg(C)+\pi/2$

Donde hemos cambiado a radianes. Es importante darse cuenta de que la clave es la diferencia entre las direcciones, o los ángulos. En los símbolos,

$(5) \quad \Delta \theta=arg(dC)-arg(C)=\pi/2$

Que es constante. Lo sabemos,

$(6) \quad arg(v \cdot w)=arg(w)+arg(v)$

Por extensión,

$(7) \quad arg \left(\cfrac{w}{v} \right)=arg(w)-arg(v)$

Utilizando el principio de los rendimientos de la correspondencia,

$(8) \quad arg \left(\cfrac{dC}{C} \right)=arg(dC)-arg(C)$

Así, si queremos $(3)$ sea constante, es decir, si queremos que la diferencia de ángulos sea constante, debemos tener $f=\cfrac{1}{C(\theta)}$ .

¿Qué pasa con $f=\cfrac{1}{C(\theta)^2}$ ? Gira más rápido que $dC$ , por lo que la diferencia entre los ángulos no será constante.

¿Qué pasa con $f=\cfrac{1}{C(\theta)^0}$ ? Esta vez gira demasiado lentamente para que la diferencia sea constante.

Por último, poner todo junto,

$$(9) \quad \cfrac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \int_{C_r} \cfrac{dC}{C-z_0}=i$$

Esto dice que el ángulo medio entre $dC$ y $\cfrac{1}{C-z_0}$ en el plano complejo es $\pi/2$ radianes o $90^o$ grados. Que en este caso se representa mejor como $i$ .

Answer 4

Es porque las funciones analíticas tienen propiedades muy agradables y la analiticidad de una función de valor complejo es más restrictiva que la diferenciabilidad de las funciones de valor real. Así que estamos utilizando una herramienta más potente.

Las ecuaciones de Cauchy-Riemman limitan las posibilidades de cómo la función $u(x,y)+iv(x,y)$ puede comportarse:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\\ \phantom{whitespace}\\\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

No queda tanta libertad para la función si se exige que esto se cumpla que si sólo se exige la diferenciabilidad.