¿Es la inyección $\ell^p \subset \ell^q$ continua para $p<q$ ?

Question

Es fácil demostrar que $\ell^p \subset \ell^q$ cuando $1 \leq p<q \leq + \infty$ ¿pero la inyección es continua?

Si es así $\ell^{\infty}$ el límite directo $\lim\limits_{\rightarrow} \ \ell^p$ como espacio topológico?

NB: Si algún resultado depende del conjunto en el que estamos trabajando, estoy trabajando en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ .

Answer 1

Si $x=(x_n) \in \ell^p$ con $\|x\|_p = 1$ entonces $|x_n| \le 1$ para todos $n$ Así que $|x_n|^q \le |x_n|^p$ para todos $n$ y así $\|x\|_q = (\sum |x_n|^q)^{1/q} \le (\sum |x_n|^p)^{1/q} \le 1^{1/q}=1 = \| x\|_p$ . Utilización de $x=(1,0,0,\ldots)$ es fácil ver que la norma del operador de la incrustación de $\ell_p$ en $\ell_q$ es en realidad igual a $1$ .

En cuanto a la segunda pregunta, la secuencia $(1,1,1,\ldots) \in \ell^\infty$ no está en el límite directo del $\ell^p$ -espacios, lo que sugiere que la respuesta es no. Para demostrar que no son homeomorfos, se puede utilizar el hecho de que $\ell^\infty$ no es separable, pero cada $\ell^p$ para $1\le p < \infty$ por lo que el límite directo también es separable. (Basta con tomar la imagen de los conjuntos densos contables en $\ell^1, \ell^2, \ell^3, \ldots$ en el límite directo, dando un conjunto denso contable en el límite directo).

Answer 2

Puede verse como una consecuencia del teorema del grafo cerrado como:

• $\ell^p$ es un espacio de Banach para cada $1\leq p\leq \infty$ ;
• si $x^{(n)}\to x$ en $\ell^p$ entonces $x^{(n)}_k\to x_k$ para cada número entero $k$ .