Un ejercicio interesante acerca de la convergencia positiva de la serie, que implican $\sum_{n\geq 1}a_n^{\frac{n-1}{n}}$

Question

Ayer me topé con un interesante ejercicio:

(Ex) Dada una secuencia $\{a_n\}_{n\geq 1}$ tal que $\sum_{n\geq 1}a_n$ is convergent, prove that $$ \sum_{n\geq 1}a_n^{\frac{n-1}{n}}$$ es convergente, también.

Mi prueba explota una idea de Carlson de la desigualdad. Tenemos: $$ a_n^{\frac{n-1}{n}}=\text{GM}\left(\frac{1}{n},2a_n,\frac{3}{2}a_n,\ldots,\frac{n}{n-1}a_n\right) $$ y por el AM-GM de la desigualdad $$ a_n^{\frac{n-1}{n}}\leq \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+a_n\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}\right)\leq \frac{1}{n^2}+\left(1+\frac{\log n}{n}\right)a_n $$ por lo tanto $$ \sum_{n\geq 1}a_n^{\frac{n-1}{n}}\color{red}{\leq} \frac{\pi^2}{6}+\left(1+\frac{1}{e}\right)\sum_{n\geq 1}a_n.$$

Ahora mi real

Pregunta: ¿hay una manera más simple prueba de (Ex), tal vez a través del Titular de la desigualdad, tal vez la explotación de las aproximaciones $$ \sum_{m<n\leq 2m}a_n^{\frac{2m-1}{2m}}\approx \sum_{m<n\leq 2m}a_n^{\frac{n-1}{n}}\approx \sum_{m<n\leq 2m}a_n^{\frac{m-1}{m}}$$ "el bloqueo" de los exponentes más pequeña suma de sub-rangos?

Answer 1

Definir $$S=\{n | a_n \leq \frac{1}{2^n}\}$$ $$T=\{n | \frac{1}{2^n} < a_n\}$$

Desde $a_n$ es positiva, es suficiente para mostrar que $$\sum\limits_{n\in S} \frac{a_n}{\sqrt[n]{a_n}} \ \text{and} \ \ \sum\limits_{n\in T} \frac{a_n}{\sqrt[n]{a_n}} $$ convergen por separado.

Si $n\in S$ $$a_n^{\frac{n-1}{n}} \leq \frac{1}{2^{n-1}}$$ por lo tanto el primero de la serie converge.

Si $n \in T$ $$\frac{1}{2}<\sqrt[n]{a_n}$$ mus $$\frac{a_n}{\sqrt[n]{a_n}}<2a_n$$

anuncio de la segunda serie también convergen en comparación con $\sum\limits_{n\in T}2a_n$

Answer 2

Desde $\sum_{n\ge 1}a_n$ es convergente, se puede decir que el $a_n \approx_{n\to \infty} u_n$$u_n < {1\over n}$. Elevando de esta desigualdad a la potencia ${n-1}\over n$ consigue :

$$ a_n^{{n-1}\over n}\approx_{n\to \infty} u_n^{{n-1}\over n} < {1 \over n^{1+{{n-1}\over n}}} = b_n $$

EDITAR : La anterior inequlity está mal, aquí es la correcta : $$ a_n^{{n-1}\over n}\approx_{n\to \infty} u_n^{{n-1}\over n} < {1 \over n^{{{n-1}\over n}}} = b_n $$ Por desgracia, esto no proporciona suficiente con respecto a la de Riemann de la regla a la conclusión de que cualquier cosa.

Con $b_n$ convergente demasiado por Riemann. Puesto que todas esas secuencias son positivos, se puede deducir $\sum_{n\ge 1}a_n^{{n-1}\over n}$ convergen demasiado.