Demostrar $4^m < \operatorname{lcm} (m+1, m+2, \dots, 2m+1)$

Question

Yo estaba buscando en la revisión de la hoja de mi mediano plazo para las pruebas de primalidad y factorización y vi esta en ella

$$4^m < \operatorname{lcm} (m+1, m+2, \dots, 2m+1)$$

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Observe que para $k\leq m$ tenemos $nk\in\{m+1,\ldots,2m+1\}$ algunos $n\geq2$. Esto implica $$ \text{lcm} \{m+1,\ldots,2m+1\}=\text{lcm}\{m,m+1,\ldots,2m+1\}=\text{lcm}\{m-1,m,m+1,\ldots,2m+1\}=\cdots=\text{lcm}\{1,2,\ldots,2m+1\}. $$

Ahora podemos usar ese $\text{lcm}\{1,2,\ldots,n\}\geq 2^n$ si $n\geq7$, cuya prueba se puede encontrar en este excelente respuesta por @shadow10, para concluir $$ \text{lcm}\{m+1,\ldots,2m+1\}\geq 2^{2m+1}=2\cdot4^m>4^m, \hspace{.2cm}m>2. $$ Los casos de $m=0,1,2$ se puede comprobar con la mano.