$E/\mathbb{F}_p$ curva elíptica supersingular, que es $\# E(\mathbb{F}_{p^n})$ ?

Question

Dejemos que $E/\mathbb{F}_p$ sea una curva elíptica supersingular con $p \ge 5$ primo, y que $n \ge 1$ sea un número entero. ¿Cómo puedo ver que $$\# E(\mathbb{F}_{p^n}) = \begin{cases} p^n + 1 & \text{if }n\text{ is odd,} \\ (p^{n/2} - (-1)^{n/2})^2 & \text{if }n\text{ is even?}\end{cases}$$

Answer 1

El polinomio característico de Frobenius que actúa sobre el $l$ -módulo de Tate, donde $l$ es un primo diferente de $p$ viene dada por $x^2+a_px-p=(x-\alpha)(x-\beta)$ para algunos $\alpha,\beta\in \overline{\mathbb Q}$ . Si $a_p=0$ , se obtiene $\alpha=\sqrt{p}$ y $\beta=-\sqrt{p}$ . Ahora sólo hay que utilizar el hecho de que $a_{p^n}=\alpha^n+\beta^n$ junto con la definición de $a_{p^n}=p^n+1-|E(\mathbb F_{p^n})|$ .