Yo soy el OP y abajo está mi propio intento de analizar este circuito (encontrando su resistencia de entrada).
En el libro del que saqué esta pregunta, el autor da dos expresiones para la resistencia de entrada ( \$r_{in}\$ o \$\dfrac{v_{in}}{i_{in}}\$ en el modelo de CA) de este circuito de polarización de arranque. Las dos expresiones son las siguientes:
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\$\dfrac{v_{in}}{i_{in}} = \dfrac{R_3}{1-A} \parallel (r_\pi + (\beta+1)( R_2 \parallel R_1 \parallel R_E ))\$
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\$\dfrac{v_{in}}{i_{in}} = \dfrac{(\beta+1) R_E'R_3 + r_\pi ( R_3 + R_E')}{R_3+r_\pi}\$
La expresión 2 se obtiene a partir de un análisis exhaustivo del modelo de CA del circuito (que puse en la pregunta). La expresión 1 utiliza más suposiciones simplificadoras, pero da más intuición sobre el comportamiento del circuito (véase la solución 1 más abajo).
Como referencia, a continuación están mis intentos de encontrar ambas expresiones para la resistencia de entrada.
Solución 1
En esta solución, trato de encontrar que \$\dfrac{v_{in}}{i_{in}} = \dfrac{R_3}{1-A} \parallel (r_\pi + (\beta+1)( R_2 \parallel R_1 \parallel R_E ))\$ .
Debido al comportamiento del circuito como seguidor de emisor (como se explica en la respuesta de jonk), el nodo V tiene una tensión de aproximadamente \$AV_{in}\$ donde A es la ganancia del seguidor de emisor (por tanto, A es muy cercano a 1).
Por lo tanto, la corriente que pasa por el \$R_3\$ rama se trata de \$\dfrac{v_{in} - Av_{in}}{R_3} = \dfrac{(1-A)v_{in}}{R_3}\$ . Dado que A está muy cerca de 1, \$\dfrac{(1-A)v_{in}}{R_3}\$ está muy cerca de 0.
Ahora, expresemos \$v_{in}\$ en términos de \$i_b\$ (la corriente a través del \$r_\pi\$ rama). Dado que la corriente a través de \$R_3\$ es muy pequeña en comparación con la corriente que pasa por \$ R_2 \parallel R_1 \parallel R_E \$ , descuidaré el \$R_3\$ para el siguiente cálculo, y asumir que toda la corriente de emisor ( \$(\beta+1)i_b\$ ) pasa por el \$ R_2 \parallel R_1 \parallel R_E \$ combinación. Así, \$v_{in}\$ puede calcularse como la tensión a través de \$r_\pi\$ (que es \$i_br_\pi\$ ) más la tensión a través de \$ R_2 \parallel R_1 \parallel R_E \$ (que es \$(\beta+1)i_b( R_2 \parallel R_1 \parallel R_E )\$ ):
\$v_{in} = i_br_\pi + (\beta+1)i_b( R_2 \parallel R_1 \parallel R_E )\$
Por lo tanto, la corriente a través de \$r_\pi\$ puede expresarse como:
\$i_b = \dfrac{v_{in}}{ r_\pi + (\beta+1)( R_2 \parallel R_1 \parallel R_E )}\$
Ahora, vamos a calcular \$i_{in}\$ . Se puede calcular como la suma de las corrientes a través de \$R_3\$ y \$r_\pi\$ :
\$ i_{in} = \dfrac{(1-A)v_{in}}{R_3} + \dfrac{v_{in}}{ r_\pi + (\beta+1)( R_2 \parallel R_1 \parallel R_E )} \$
Ahora, vamos a calcular \$\dfrac{v_{in}}{i_{in}}\$ :
\$\dfrac{v_{in}}{i_{in}} = \dfrac{v_{in}}{\dfrac{(1-A)v_{in}}{R_3} + \dfrac{v_{in}}{ r_\pi + (\beta+1)( R_2 \parallel R_1 \parallel R_E )}}\$
\$\dfrac{v_{in}}{i_{in}} = \dfrac{1}{\dfrac{(1-A)}{R_3} + \dfrac{1}{ r_\pi + (\beta+1)( R_2 \parallel R_1 \parallel R_E )}}\$
\$\dfrac{v_{in}}{i_{in}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{R_3}{1-A}} + \dfrac{1}{ r_\pi + (\beta+1)( R_2 \parallel R_1 \parallel R_E )}}\$
\$\dfrac{v_{in}}{i_{in}} = \dfrac{R_3}{1-A} \parallel (r_\pi + (\beta+1)( R_2 \parallel R_1 \parallel R_E ))\$
En esta expresión aproximada, podemos identificar claramente que uno de los componentes paralelos, \$\dfrac{R_3}{1-A}\$ es la "resistencia efectiva", aparentemente muy grande, a la que se refiere el autor.
Solución 2
En esta solución, trato de encontrar que \$\dfrac{v_{in}}{i_{in}} = \dfrac{(\beta+1) R_E'R_3 + r_\pi ( R_3 + R_E')}{R_3+r_\pi}\$ .
Aplicando KCL en el nodo marcado como V (la corriente en este nodo desde el emisor del transistor es \$(\beta+1)i_b\$ ):
\$(\beta+1)i_b = \dfrac{V}{R_1}+\dfrac{V}{R_2}+\dfrac{V}{R_E} + \dfrac{V-v_{in}}{R_3}\$
\$(\beta+1)i_b = V\left ( \dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_E} \right ) + \dfrac{V-v_{in}}{R_3}\$
Haciendo \$\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_E} = R_E'\$ :
\$(\beta+1)i_b = \dfrac{V}{R_E'} + \dfrac{V-v_{in}}{R_3}\$
Ahora, expresando \$V\$ en términos de \$v_{in}\$ y \$i_b\$ :
\$V=v_{in}-i_br_\pi\$
Haciendo \$V=v_{in}-i_br_\pi\$ en la ecuación del nodo:
\$(\beta+1)i_b = \dfrac{v_{in}-i_br_\pi}{R_E'} + \dfrac{v_{in}-i_br_\pi-v_{in}}{R_3}\$
\$v_{in} = i_b\left [(\beta+1) R_E' + r_\pi + \dfrac{r_\pi R_E'}{R_3} \right ]\$
Conectando esto \$v_{in}\$ en la fórmula \$V=v_{in}-i_br_\pi\$ :
\$V = v_{in} - i_br_\pi = i_b\left [(\beta+1) R_E' + \dfrac{r_\pi R_E'}{R_3} \right ]\$
Ahora, expresando \$i_{in}\$ como la suma de las corrientes a través de \$r_\pi\$ y \$R_3\$ :
\$i_{in} = i_b+\dfrac{v_{in}-V}{R_3}\$
Introduciendo las expresiones encontradas para \$V\$ y \$v_{in}\$ en términos de \$i_b\$ :
\$i_{in} = i_b+\dfrac{i_br_\pi}{R_3}=i_b\left ( \dfrac{R_3+r_\pi}{R_3} \right )\$
\$i_{in} = i_b+\dfrac{i_br_\pi}{R_3}=i_b\left ( \dfrac{R_3+r_\pi}{R_3} \right )\$
Por último, el cálculo de la resistencia de entrada ( \$\dfrac{v_{in}}{i_{in}}\$ ):
\$\dfrac{v_{in}}{i_{in}} = \dfrac{i_b\left [(\beta+1) R_E' + r_\pi + \dfrac{r_\pi R_E'}{R_3} \right ]}{i_b\left ( \dfrac{R_3+r_\pi}{R_3} \right )}\$
\$\dfrac{v_{in}}{i_{in}} = \left (\dfrac{(\beta+1) R_E'R_3 + r_\pi R_3 + r_\pi R_E'}{R_3} \right )\left ( \dfrac{R_3}{R_3+r_\pi} \right )\$
\$\dfrac{v_{in}}{i_{in}} = \dfrac{(\beta+1) R_E'R_3 + r_\pi ( R_3 + R_E')}{R_3+r_\pi}\$
