Propiedad de grado impar polinomios?

Question

Un verdadero polinomio de grado impar tiene todos los coeficientes positivos . Demostrar o refutar la siguiente declaración\begin{align} \frac{1}{2}\int u^{1/2} du=\frac{1}{2}.\frac{2}{3} u^{3/2} + C=\frac{1}{3} u^{3/2} + C \end

Hay una permutación de sus coeficientes (posiblemente trivial) tales que el polinomio resultante tiene exactamente una raíz real

Answer 1

Respuesta parcial: Para el caso de las cúbicos de polinomios es cierto.

Deje $ax^3+bx^2+cx+d$ ser un polinomio cúbico en $x$ con todos los coeficientes positivos y tres reales de ceros. Los tres deben ser negativo y se suma a $-b/a$, por lo que todos son mayores que las de $-b/a$. Esto obliga a que el polinomio valor en $x=-b/a$ ser negativo, pero ese valor es $(ad-bc)\over a$.

Por lo tanto $ad<bc$, pero eso no puede ser cierto para todas las permutaciones de un conjunto dado de números positivos. Así que al menos una permutación de los coeficientes no se puede dar de tres raíces reales.