¿Existen reglas especiales a la hora de realizar una sustitución en una integral?

Question

Por favor, considere la integral:

$$\int_{-a}^{a}x^2dx=\frac{2a^3}{3}$$

Me gustaría saber por qué no puedo hacer la sustitución:

$$u=x^2$$

Cuando haga la sustitución, los límites de la integral serán los mismos, y la propia integral será cero, que es la respuesta incorrecta. Entonces, ¿por qué este simple cambio de variables no funciona como yo esperaba?

Ten en cuenta que no quiero ayuda para resolver la integral, sé resolverla de varias maneras. Mi pregunta es ¿por qué este intento específico de solución no funciona?

Answer 1

Esta es una gran pregunta, y me parece que las variantes a menudo no se entienden bien. Llevemos a cabo la sustitución por completo. Dado que $a$ claramente no importa, supondré que $a = 1$ para simplificar.

$$ \int_{-1}^1 x^2 dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 x \cdot 2x dx.$$

En esta forma, sustituimos $u = x^2$ de modo que $du = 2x dx$ . Entonces, en la integral, tenemos

$$ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \underbrace{x}_{\pm\sqrt u} \cdot \underbrace{2x dx}_{du}.$$

Para completar la sustitución, tenemos que sustituir $x = \pm \sqrt u$ . Escribo $\pm$ para indicar que a veces tenemos $x = \sqrt u$ y a veces tenemos $x = - \sqrt u$ . En particular, cuando $x$ es negativo, elegimos la raíz cuadrada negativa, $x = - \sqrt u$ . Esta ambigüedad es muy importante.

En concreto, para $x$ sur $[-1, 0]$ tenemos que $x = -\sqrt u$ y para $x$ sur $[0, 1]$ tenemos que $x = \sqrt u$ . A continuación, para realizar la sustitución, dividimos la integral en estos dos intervalos y tratamos cada uno por separado.

$$\begin{align} \frac{1}{2} \int_{-1}^1 x \cdot 2x dx &= \frac{1}{2} \int_{-1}^0 x \cdot 2x dx + \frac{1}{2} \int_{0}^1 x \cdot 2x dx \\ &= \frac{1}{2} \int_1^0 (- \sqrt u) du + \frac{1}{2} \int_0^1 \sqrt u du \\ &= \frac{1}{2} \int_0^1 \sqrt u du + \frac{1}{2} \int_0^1 \sqrt u du \\ &= \int_0^1 \sqrt u du = \frac{2}{3} u^{3/2} \bigg|_0^1 = \frac{2}{3}. \end{align}$$

La naturaleza exacta de la sustitución es muy importante. Esto hace que algunos textos introductorios afirmen que las sustituciones deben ser inyectivas. Pero un análisis cuidadoso demuestra lo contrario. $\spadesuit$

Answer 2

Se supone que, cuando se utiliza la sustitución para evaluar una integral definida, se invierte la sustitución antes de aplicar los límites. Al elegir sustituir $u = x^2$ y así $du = 2x dx$ hay que "ajustar" la integral antes de realizar esa sustitución:

$$\int_{-a}^a x^2 dx = \frac{1}{2} \int_{-a}^a \underbrace{x}_{u^{1/2}} \cdot \underbrace{2x dx}_{du} $$

Como está previsto invertir la sustitución, es mejor evitar ajustar los límites de la integral y evaluarla como una integral indefinida:

$$\begin{align} \frac{1}{2}\int u^{1/2} du=\frac{1}{2}.\frac{2}{3} u^{3/2} + C=\frac{1}{3} u^{3/2} + C \end{align}$$

Sustitución inversa, es decir $u = x^2$ y aplicando límites:

$$\begin{align} =\frac{1}{3} {(x^2)}^{3/2}\bigg|_{-a}^a =\frac{1}{3} x^3 \bigg|_{-a}^a =\frac{1}{3} a^3 -\frac{1}{3} {(-a)}^3 =\frac{2}{3} a^3 \end{align}$$

Answer 3

Es el pequeño $dx$ al final. Eso te dice qué variable integrar con respecto a. Si haces el cambio de variables, ahora tienes que integrar con respecto a la nueva variable, así que tienes que conocer la forma en que cambia tu nueva variable con respecto a la anterior, es decir, la derivada.

Sin embargo, descubrirá que la informática $\frac{du}{dx} = 2x$ e intentando luego "enchufar $du$ descubrirás que tienes ambos $u's$ y $x's$ por lo que esta sustitución no te permitirá evaluar la integral.

Answer 4

Me gusta lo que dice Alfred, pero yo lo diría de forma ligeramente diferente. El $dx$ al final no es sólo el "otro extremo" de la integral delimitada a la izquierda por $\int$ . Tampoco es sólo el indicador de qué variable se está integrando. Es parte de la propia integral. En otras palabras, no integramos funciones $f(x)$ tanto como formularios $f(x)\,dx$ .

Cuando realizamos una sustitución, tenemos que sustituir completamente todo el formulario a partir de uno que incluya $x$ a una que implique $u$ . Al integrar $x^2\,dx$ si sustituimos $u = x^2$ debemos sustituir $dx$ en términos de $u$ y $du$ . Desde $\frac{du}{dx} = 2x$ escribimos $du = 2x\,dx$ . Así $dx = \frac{1}{2x}\,du = \frac{1}{2\sqrt{u}}\,du$ . Así que $$ \int x^2 \,dx = \int u \frac{1}{2\sqrt{u}}\,du = \frac{1}{2}\int \sqrt{u}\,du $$ Eso es diferente de $\int u\,du$ .

Creo que estabas cambiando el diferencial de $dx$ a $du$ sin sustituir. Puede evitar este error si recuerda que $dx$ y $du$ forman parte de la integral.