Homotopy grupos de $S^2$

Question

Me gustaría entender más homotopy grupos mejor y supongo que no hay forma más sencilla que la comprensión de ellos por espacios simples como sea posible; por lo tanto $S^2$.

Mi pregunta básicamente tiene dos partes, una geométrica y una computacional. La primera parte no es realmente acerca de las esferas de por sí, pero creo que debería ser más fácil de contestar en este contexto

1. lo que hacen los grupos que realmente nos dicen sobre $S^2$ y donde toda la complejidad? Me refiero a que, ingenuamente, yo esperaría que la mayoría de los grupos para ser trivial (como para $S^1$). Esto significa que, probablemente, yo todavía no tienen un alcance intuitivo de mayor homotopy grupos; de modo que la intuición es lo que estoy buscando en esta parte.

2. tienen los grupos sido calculada por completo (o al menos, existe un algoritmo para calcular ellos)? Sé que la teoría de mayores dimensiones esferas es complicado, pero tal vez el caso de $S^2$ (y por lo tanto también $S^3$) podría ser un poco más simple.

Con respecto a 2., página de la wikipedia menciona que el problema se ha reducido a la combinatoria del grupo de teoría de la Brunnian trenzas. Podría alguien expusiera en esto o proporcionar reducciones adicionales a los puramente problemas de combinatoria?

Answer 1

Al menos en $p=2$, Toda cálculos no ir cerca que lejos. Hay más adelante de los papeles que ir un poco más lejos, pero su `Composición métodos en homotopy grupos de esferas" sube a $n=19$. Es engañoso pensar $S^2$ como particularmente simple. Hay un viejo teorema (Serre?) que si $X$ es cualquier conecta finito CW complejo que no contráctiles, como $S^2$, entonces para cada uno de los prime $p$ hay infinitamente muchos $$ n tal que $\pi_n(X)$ $p$-torsión.

Answer 2

En el papel [E H Brown "Finito de la Computabilidad de Postnikov Complejos" anales de las Matemáticas (2) 65 (1957) pp 1-20] puede encontrar una prueba de que todos los homotopy grupos de simplemente conectado a simplicial complejo a través de algoritmos computable.

En particular, sabemos cómo calcular todos los de $\pi_n(S^2)$. El problema es que el algoritmo es increíblemente ineficiente. Por otra parte, incluso si lo que realmente se ejecutó el algoritmo de lo que podríamos conseguir es probablemente lo que realmente queremos, que es el de tener algún tipo de información en los grupos a---y una tabla no es exactamente esa.

Por ejemplo, sabiendo que $\pi_{n+11}(S^n)$ es un grupo cíclico de orden 504 es un punto de datos, pero sabiendo que es un cylic grupo de orden precisamente el denominador del cociente $B_{6}/12$, donde $B_6$ es el sexto número de Bernoulli, y que esto es en realidad parte de un patrón general, ahora que es información!

Ver también http://mathoverflow.net/questions/31004/computational-complexity-of-computing-homotopy-groups-of-spheres

Más tarde. Usted no está solo a la espera de los grupos a ser trivial, por el camino. Leyendo un poco sobre la historia de la topología algebraica es útil aquí: verás que en el momento, fue un shock para todos los involucrados (es decir, todas aquellas personas cuyos nombres adornan los teoremas de hoy en día) que el de Hopf fibration que existe en absoluto, lo que implica que $\pi_3(S^2)$ es no trivial de grupo!

Answer 3

Para la punta de espacio $X$ deje que $\Omega$ X denota el bucle espacio de bucles $S^1 \a X$ respetando la base de los puntos de. Para no patológica de $X$ podemos equipar a $\Omega$ X con el compacto-abierta topología y tenemos a los naturales de identificación $\pi_n(\Omega X) \cong \pi_{n+1}(X)$.

Ahora $\pi_1$ es bastante intuitivo. Nos dice cómo es de complicado bucles en $X$ puede ser de hasta homotopy. Equivalentemente, que nos dice acerca de los componentes conectados de $\Omega$ X. Pero no nos dice lo complicado que los componentes conectados a sí mismos . Pensar en lo que nos fijamos en $\pi_1(\Omega X) \cong \pi_2(X)$. Cuando este es trivial, significa que hay bucles en $\Omega$ X (o "bucles entre loops") que no son homotopy-equivalente.

Del mismo modo $\pi_3(X) \cong \pi_2(\Omega X) \cong \pi_1(\Omega^2 X)$ nos dice acerca de cómo complicada "bucles entre los bucles entre los bucles". En otras palabras, el hecho de que la mayor homotopy grupos de $S^2$ son triviales nos dice que la iteración de bucle espacios de $S^2$ son complicadas.

Por el contrario, cada componente conectado de $\Omega S^1$ es contráctiles mirando a la universalización de la cobertura.

Answer 4

Yo diría que $S^2$, no es fácil que cualquier otro grupo. Aun no se sabe si $\pi_n(S^2)$ es cero para cualquier $n>1$. Vea aquí.

Supongo que has mirado la visualización de los hopf fibration $S^3 \S^2$ en Hatcher libro? Esto debería al menos dar alguna idea de por qué $\pi_3(S^2) \ne 0$.

Yo creo que Toda calcula el homotopy grupos de $\pi_n(S^p)$ para $n \le 64$ (y en un rango de $p$). En general la mayoría del trabajo se enfoca en el cálculo de la estable homotopy grupos de esferas. Esto parece funcionar mediante el cálculo de la p-ésima componente en un tiempo, y es altamente no trivial problema.

Todos (la mayoría?) de las técnicas que implican alguna forma de secuencia espectral de diferentes niveles de dificultad. El 'estándar de oro' es el de Adams-Novikov espectral de la secuencia, pero incluso el cálculo de la $E_2$ página de este espectro de la secuencia es terriblemente difícil. Para la mejor encuesta, aunque aún resulte difícil de leer, consulte el Capítulo 1 de Ravenel del Complejo Cobordism y Estable Homotopy Grupos de Esferas