¿Se pueden demostrar las leyes del movimiento de Newton (matemáticamente o analíticamente) o son simplemente axiomas?

Question

Hoy estaba viendo la conferencia del Profesor Walter Lewin sobre las leyes del movimiento de Newton. Mientras definía la primera, segunda y tercera ley de Newton, él preguntó "¿Se pueden probar las leyes del movimiento de Newton?" y según él, ¡la respuesta fue NO!

Dijo que estas leyes están en acuerdo con la naturaleza y que los experimentos siguen estas leyes cada vez que se realizan. Verás que estas leyes siempre se obedecen (hasta cierto punto). Puedes afirmar que una pelota en movimiento con velocidad constante sobre una superficie sin fricción nunca se detendrá a menos que le apliques alguna fuerza, sin embargo no puedes probarlo.

Mi pregunta es que si las leyes del movimiento de Newton no pueden ser probadas, entonces ¿qué hay de esas pruebas que hacemos en la escuela secundaria (ver esto, esto)?

Intenté encontrar la respuesta en preguntas previamente formuladas en este sitio pero desafortunadamente ninguna de las respuestas es lo que esperaba obtener. Finalmente, la pregunta que hago es: ¿Se pueden probar las leyes del movimiento de Newton?

Answer 1

Si quieres demostrar algo, debes comenzar con axiomas que se presumen verdaderos. ¿Cuáles elegirías como axiomas en este caso?

Las Leyes de Newton son efectivamente los axiomas, elegidos (como otros han señalado) porque sus predicciones concuerdan con la experiencia. Sin duda es posible probar las Leyes de Newton a partir de un conjunto diferente de axiomas, pero eso solo pospone el problema.

Answer 2

En cierto sentido, la Segunda Ley de Newton puede "derivar" a partir de la suposición de que la evolución de un sistema está determinada solo por su posición inicial y velocidad. Este es el argumento presentado al principio del libro Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica de V.I. Arnold. Comienza el Capítulo 1 con los siguientes "hechos experimentales":

1. Nuestro espacio es tridimensional y euclidiano. El tiempo es unidimensional.
2. Existen un conjunto de sistemas de coordenadas (llamados "inerciales") que poseen las siguientes dos propiedades: (a) Todas las leyes de la naturaleza en todos los momentos del tiempo son iguales en todos los sistemas de coordenadas inerciales. (b) Todos los sistemas de coordenadas en movimiento rectilíneo uniforme con respecto a uno inercial son a su vez inerciales.
3. El estado inicial de un sistema mecánico (la totalidad de posiciones y velocidades de sus puntos en algún momento del tiempo) determina de manera única todo su movimiento.

Supongamos que nuestro sistema está determinado por $N$ números reales, que podemos reunir en un vector $\mathbf{x}$. Dado que el "hecho experimental" #3 dice que todas las propiedades del movimiento están determinadas por las posiciones y velocidades, la aceleración de $\mathbf{x}$ (en particular) está determinada por estas cantidades. Podemos concluir entonces que existe una función $\mathbf{f}: \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^N$ tal que $$ \ddot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \dot{\mathbf{x}},t). $$ Esto puede verse como definir $\mathbf{F}$ para un sistema dado; si multiplicamos cada componente de $\mathbf{f}$ por la "masa de cada punto" (en algún sentido apropiado), obtendríamos "la fuerza sobre cada punto". Así que el hecho de que las posiciones y velocidades iniciales determinen el movimiento implica la existencia de la ecuación de Newton para alguna función $\mathbf{F}.

Nota que esta implicación va en ambos sentidos. Si asumimos que esta función $\mathbf{f}$ existe, hay teoremas en el campo de ecuaciones diferenciales ordinarias que garantizan la existencia y unicidad de las soluciones $\mathbf{x}(t)$ a esta ecuación. (En otras palabras, no necesitamos definir una función independiente para $\dddot{\mathbf{x}}$ o alguna derivada superior para determinar el movimiento; una función que determine la segunda derivada es suficiente.) Así, el "hecho experimental" de que las posiciones y velocidades iniciales determinan completamente el movimiento es totalmente equivalente a la afirmación de la Segunda Ley de Newton.

Answer 3

Pedir una prueba de una ley es ridículo. Una ley es algo que se da para explicar un fenómeno. Es válida siempre y cuando algo no la contradiga y sea capaz de explicar las cosas correctamente. En lo que respecta a las leyes de Newton, ya están contradichas por Einstein. Por lo tanto, no es válida ya que los axiomas básicos utilizados, como la consistencia de los intervalos de tiempo y la longitud en diferentes marcos de referencia, son refutados por la teoría de la relatividad. El hecho de que utilice geometría euclidiana, que ya está refutada junto con sus axiomas, claramente refuta las propias leyes de Newton. Aun así, es válido y fácil de aplicar en velocidades despreciables en comparación con la velocidad de la luz, por lo que lo utilizamos. Por último, diría que ninguna ley en la ciencia necesita una prueba. Además, si se demostrara, ¿no se convertiría en un teorema?

Answer 4

Su pregunta más grande probablemente sea: "¿Cuál es la relación entre la física y las matemáticas?". Richard Feynman tiene una excelente charla sobre esa relación entre la física y las matemáticas. Puedes encontrarla aquí: Richard Feynman - The Character of Physical Law - 2 -The Relation of Mathematics to Physics. Comienza la discusión sobre este punto a las 22:55.

Parafrasear a Feynman se siente un poco como herejía, pero su punto es que incluso si acercaras la física de manera axiomática, habría muchas decisiones que podrías tomar sobre cuál idea sería el axioma y cuál el teorema. La geometría tiene un problema similar. Lo más pragmático entonces es tener un conjunto de principios que sean útiles para resolver problemas, y en los que tengas mucha confianza. Esa confianza proviene de ser lo suficientemente simples como para tener implicaciones claras y haber revisado tantas de esas diferentes implicaciones como puedas.

Answer 5

Son una aproximación a la Relatividad General, por lo tanto, sí, pueden ser demostradas usando la relatividad general.