Cada energía $p^k$ que divide $\binom{2m}{m}$ es menor o igual a $2m$

Question

Quiero mostrar que cada potencia principal $p^k$ que divide $\binom{2m}{m}$ es menor que o igual a $2m$.

Como primer paso, la miré $$\binom{2m}{m} = \frac{(2m)!}{(m!)^2} = \frac{2 m(2m-1) \ldots (m+2)(m+1)}{m.} \, .$$ Aquí estoy atascado esencialmente. Puedo aplicar la factorización prima para el numerador y el denominador, entonces puedo cancelar y sé que $p^k$ queda en el numerador. Pero no quiero concluir $p^k \leq 2m$.

Siento que algún ingrediente vital que falta aquí, pero no sé lo que es.

(Post editado con respecto a el comentario útil.)

Answer 1

Sugerencia: Que $\alpha_{n, p}$ ser el mayor número natural tal que $p^{\alpha_{n, p}}\mid n!$ $n\in\mathbb{N}$ y $p$ prime. Entonces $$\alpha_{n, p}=\sum_{k=1}^{\infty}{\left[\frac{n}{p^k}\right]},$$ where $ $ is the integer part of $x # $[x].