¿Hay un mapa que cubre con rebanadas uncountably muchos?

Question

El siguiente es de la Topología por Munkres:

Deje $E$ $B$ dos espacios topológicos y $p:E\to B$ un continuo surjective mapa. El conjunto abierto $U\subset B$ dijo estar uniformemente cubierto por $p$ si el me nverse imagen $p^{-1}(U)$ puede ser escrito como la unión de distintos bloques abiertos $V_\alpha$ $E$ tal que para cada una de las $\alpha$, la restricción de $P$ $V_\alpha$es un homeomorphisam de $V_\alpha$ a $U$. La colección de $\{V_\alpha\}$ se denomina partición de $p^{-1}(U)$ en rodajas. Si cada $b\in B$ tiene un vecindario $U$ que es uniformemente cubierto por $p$, $p$ se llama una cubierta mapa.

Aquí está mi pregunta: ¿hay un ejemplo que $p^{-1}(U)$ contiene uncountably muchos sectores?

Answer 1

Seguro, ¿por qué no? Si $X$ es un conjunto discreto de incontable y $Y$ es cualquier espacio, el % de proyección $X \times Y \to Y$es un mapa de cobertura. Si no te gusta esto, entonces en su lugar podría construir un complejo CW (que siempre tienen cubiertas universales) $X$ $\pi_1(X)$ incontables. Luego el universal que cubre el mapa $\tilde X \to X$ tiene uncountably de muchos sectores.

Así sucede que cuando hace la topología de los espacios y cubrir mapas que preferimos pensar casi siempre tienen fibras contables.

Answer 2

Usted puede tomar el trivial cubriendo espacio $E = B \times F$ $F$ Dónde está un incontable conjunto con la topología discreta con $\pi \colon B \times F \rightarrow B$ la proyección. Entonces $B$ está uniformemente cubierto por Unión separado $\bigcup_{f \in F} B \times \{ f \}$ de subconjuntos abiertos de $E$ homeomorfa a $B$.