¿Cómo podemos resolver $x$ en la ecuación $\binom{x+2}{5} = 126$ ? Ampliando, obtenemos $(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2) = 126(5!)$ y por ensayo y error, podemos ver $x = 7$ Pero, ¿cómo podemos resolverlo sin ensayo y error? Además, ¿cómo podemos saber sólo ¿existe una solución?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para ver que sólo hay una solución, generalicemos ligeramente y consideremos la función $f(x)=\binom{x}{k}$ donde $x$ es un número entero mayor o igual que $k$ . Queremos demostrar que se trata de una función creciente.
En teoría, se podría expresar $f(x)$ como un polinomio y utilizar el cálculo. Sin embargo, podemos adoptar un enfoque combinatorio.
$f(x+1)$ es el número de formas de seleccionar $k$ elementos de $\{1,2,\ldots,x+1\}$ Consideramos dos tipos de subconjuntos, los que contienen $x+1$ y los que no. Hay $f(x)$ subconjuntos del segundo tipo, y un número positivo del primer tipo (ya que estamos seleccionando $k-1$ elementos de $\{1,2,\ldots,x+1\}$ .
Por lo tanto, $f(x+1)>f(x)$ y así $f(x)$ es una función creciente.
No sé si se puede evitar completamente la adivinación sin recurrir al cálculo, pero como el mayor factor primo de $126*5!$ es $7$ . En particular, $11$ , $13$ y $17$ , no son factores, por lo que sabes que si $x>8$ entonces $x\geq 20$ . Además, $x\geq 5$ . Si verifica que $8$ es demasiado grande, eso te da un pequeño rango para comprobar.
Yves Daoust
Puntos
30126
Consejos :
Para encontrar una estimación de la raíz, observe que la RHS es bastante grande y por $P(x)\approx x^5$ puede esperar una raíz cercana a $\sqrt[5]{126\cdot5!}=6.85$ , por lo que se evalúa en $6$ y $7$ .
La derivada del producto es un polinomio bicadrático, por lo que se puede encontrar el extremo y confirmar la imposibilidad de otras raíces reales.
E.H.E
Puntos
8642
Jan Eerland
Puntos
4354
Utilizar:
- $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
- $$a!=\prod_{p=1}^{a}p=a\times(a-1)\times(a-2)\times\dots\times3\times2\times1$$
Así que, tenemos:
$$\binom{x+2}{5}=126\Longleftrightarrow\frac{(x+2)!}{5!((x+2)-5)!}=126\Longleftrightarrow$$ $$\frac{(x+2)!}{120(x-3)!}=126\Longleftrightarrow\frac{(x+2)!}{(x-3)!}=15120$$
Ampliar $\frac{(x+2)!}{(x-3)!}$ :
$$\frac{(x+2)!}{(x-3)!}=x(x-2)(x-1)(x+2)(x+2)=x(x^4-5x^2+4)$$
Así que, tenemos:
$$x(x^4-5x^2+4)=15120\Longleftrightarrow(x-7)(x^4+7x^3+44x^2+308x+2160)=0$$
Así, obtendremos $7$ como solución.
Ronaldinho
Puntos
1
Usando el enfoque de fuerza bruta, podemos encontrar fácilmente que x=7 es la solución.
Y x=7 es el sólo uno solución. Porque:
No hay solución para x<3, porque $\binom{x+2}{5}=0$ para x<3
para x>=3:
$\binom{x0+2}{5} < \binom{x+2}{5} < \binom{x1+2}{5}$ para todo x1 > x > x0 >=3; y x,x1,x0 es un número real
así que $\binom{x0+2}{5} < \binom{7+2}{5} = 126 < \binom{x1+2}{5}$ para todo x1 > 7 > x0 >=3; y x1,x0 es un número real
Conclusión: x=7 es la única respuesta .
