Ayudar en la evaluación de $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac1{k}\sin (\frac{a}{k})$

Question

Me gustaría tratar de evaluar

$$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\sin (\frac{a}{k})}{k}$$

Sin embargo, todos mis intentos han sido infructuosos. Incluso Wolfram Alpha no se puede evaluar esta suma. ¿Alguien me puede ayudar evaluar esta interesante suma?

Answer 1

Este es el de Hardy-Littlewood función (ver este y este ), el cual es conocido por ser muy lentamente convergente. Walter Gautschi, en este artículo, muestra que

$$\sum_{k=1}^\infty \frac1{k}\sin\frac{x}{k}=\int_0^\infty \frac{\operatorname{bei}(2\sqrt{xu})}{\exp\,u-1}\mathrm du$$

donde $\operatorname{bei}(x)=\operatorname{bei}_0(x)$ es un Kelvin de la función, a través de la transformada de Laplace de las técnicas (es decir, $\mathcal{L} \{\operatorname{bei}(2\sqrt{xt})\}=\sin(x/s)/s$), y da un par de métodos para la eficiente evaluación de la integral.

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Aquí está una parcela de Hardy-Littlewood función: