Exponentes Complejos

Question

¿Qué significa elevar un número a un exponente complejo, y por qué? Muchas de las explicaciones que he visto implican e, ¿por qué es esto?

Estoy buscando una respuesta intuitiva que describa cómo funciona la exponenciación en un plano de números (es decir, el plano de números complejos) en lugar de solo una recta numérica (los números reales), donde entiendo bastante bien la exponenciación. No busco una descomposición de la serie de Taylor; creo en las pruebas, simplemente no las entiendo del todo.

Por ejemplo, si estuviera preguntando cómo funciona el seno, querría esto, no esto.

Answer 1

Querido Nate, primero, ¿por qué $e$ es la base preferida para las exponenciales? Imagina que tienes 1 dólar y tu banco te da una tasa de interés del 100%. Después de 1 año, tendrás 2 dólares.

Ahora te ofrece agregar intereses 100 veces al año pero el interés es del 1% en cada momento. ¿Cuánto obtendrás? Obtendrás $$ (1+0.01)^{100} \approx 2.704 $$ ¿Qué pasa si te añaden $1/N \times $ 100% en $N$ momentos del año y envías $N$ al infinito? Bueno, tendrás $e\approx 2.71828$ dólares después de un año.

De hecho, la exponencial general -potencia con la base de $e$- puede ser definido por esta fórmula de "interés pequeño repetido" como $$ e^X = \exp(X) = \lim_{N\to \infty} \left(1+\frac {X}{N}\right)^N $$ Solo tiene esta forma simple si la base es $e$. Una potencia más general puede ser definida como $$ Y^X = \exp(X \ln Y) .$$ Aquí, $\ln$ es el logaritmo natural de modo que $\exp\ln X = X$. Si reemplazara la base $e$ por otra base como $2$ o $10$, la fórmula de "interés pequeño repetido" anterior tendría que contener $\ln 2$ o $\ln 10$ u otros factores incómodos en varios lugares. No sería natural.

Entonces en lugar de potencias $Y^X$ y logaritmos con bases generales, deberías pensar que en matemáticas, solo $\exp(X)$ y $\ln(X)$ son realmente necesarios, y todas las otras potencias y logaritmos pueden ser expresados como funciones compuestas. Además, $\exp(X)$ tiene la ventaja de que su derivada es exactamente igual a la misma función $\exp(X)$. En particular, la derivada evaluada en $X=0$ es igual a uno, muy bonito y simple. Sería $\ln(Y)$ si usaras una base diferente $Y$ en lugar de $e$.

Ahora, ¿cuál es la exponencial de un exponente imaginario? Nuevamente, puedes escribir $$\exp(iX) = \lim_{N\to\infty} \left(1+\frac {iX}{N}\right)^N $$ Multiplicas $N$ copias de un número que está muy cerca de uno. ¿Qué obtienes?

Bueno, la multiplicación por un número complejo tiene el efecto de amplificar (o reducir) el plano, y rotarlo. En particular, el valor absoluto del número $(1+iX/N)$ es esencialmente uno, hasta correcciones de segundo orden que desaparecen en el límite $N\to \infty$. Así que en el límite, $(1+iX/N)$ es efectivamente un número cuyo valor absoluto es uno.

Multiplicar por números complejos cuyo valor absoluto es igual a uno parece una rotación del plano complejo. Los ángulos se conservan - esas son algunas cosas que uno debería saber sobre los números complejos. Además, está claro que multiplicar por $(1+iX/N)$ es equivalente a la rotación por $X/N$ en radianes. Si multiplicas el mismo factor $N$ veces, simplemente obtienes una rotación por $X/N$ en radianes.

Entonces, la $N$-ésima potencia de $1+iX/N$, en el límite $N\to\infty$, es el número que obtienes al rotar $1$ en dirección contraria a las manecillas del reloj por el ángulo $X$ en radianes. Claramente, la respuesta es $$ \exp(iX) = \cos (X) + i \sin(X) $$ donde las funciones trigonométricas tienen argumentos en radianes, por supuesto. Una vez más, la unidad de medida natural de un ángulo en matemáticas es en radianes por razones muy similares a por qué la base natural de las potencias o exponenciales es $e$. Solo en radianes, es cierto que la derivada de $\sin X$ es igual a $\cos X$ y muchas otras cosas.

De hecho, la fórmula anterior hace que sea natural decir que $\cos X$ y $\sin X$ tampoco son funciones "independientes". Pueden ser definidas como $$\cos (X) = \frac 12 ( e^{iX} + e^{-iX} ) $$ $$\sin(X) = \frac{1}{2i} (e^{iX} - e^{-iX} ) $$ Puedes sustituir las dos últimas ecuaciones en la anterior o viceversa para comprobar que todo es consistente.

Solo para estar seguro, los números complejos generales también pueden ser exponenciados a través de $\exp(A+iB) = \exp(A)\exp(iB)$ donde ambos factores son conocidos.

Answer 2

Hay varios enfoques posibles, pero prefiero comenzar con la función exponencial $e^z$ como solución a la ecuación diferencial $f'(z) = f(z)$ con $f(0)=1$. Las otras exponenciales se derivan de esto: $a^z = e^{z \log(a)}$ es una solución a $f'(z) = \log(a) f(z)$ con $f(0)=1.

Answer 3

No todo en Matemáticas es intuitivo o al menos intuitivo sin una cantidad considerable de trabajo.

La mejor manera de entender la fórmula de Euler es simplemente usarla para resolver problemas en trigonometría y cálculo.