Encuentre $a,n\in \mathbb N^{+}:a!+\dfrac{n!}{a!}=x^2,x\in \mathbb N.$
Encuentro $\{n,a\}=\{4,1\}\{4,4\}\{5,1\}\{5,5\}\{7,1\}\{7,7\}\{20,11\}.$ (Todos estos son si $n<300$ .)
$11!+\dfrac{20!}{11!}=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10\times11+12\times13\times14\times15\times16\times17\times18\times19\times20=246960^2.$
Si asumimos conjetura abc ¿Será la solución finita?
Todas las desigualdades se mantienen para $n$ siendo lo suficientemente grande. Es trivial demostrar que $$\frac{n!}{(\frac{n}{2})!} < a! + \frac{n!}{a!} < 2n!$$
Ahora sustituye $x^2$ y tomar el registro. Usted obtendrá $$\frac{\ln n! - \ln \frac{n}{2}!}{2} < \ln x < \frac{\ln n! + \ln 2}{2}$$
Ahora calcula la calidad de la hipótesis abc: $q(a!, \frac{n!}{a!}, x^2) = $ $$\frac{2 \ln x}{\ln n\# rad x} > \frac{2 \ln x}{\ln n\# + rad x} > \frac{2 \ln n! -2 \ln \frac{n}{2}!}{\ln n\# + \ln n + \ln 2} > \frac{2 \ln n! -2 \ln \frac{n}{2}!}{\frac{3}{2} \ln n! + ln 2} > 1+ \epsilon$$
La última viene del hecho de que $\frac{\ln \frac{n}{2}!}{\ln n!} \to 0$ . Ahora podemos aplicar la hipótesis abc.
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$x$ no puede ser divisible por ningún primo $a<p\leq n$
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Y si $n\leq 2a$ entonces $x^2$ es divisible por $(n-a)!$
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Y si $2a\leq n$ entonces $\frac{n!}{a!}$ y $x^2$ son divisibles por $a!$
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Si $\lfloor n/p\rfloor>\lfloor a/p\rfloor>0$ entonces ( $\lfloor n/p\rfloor>\lfloor a/p\rfloor+1$ o $\lfloor n/p^2\rfloor>\lfloor a/p^2\rfloor$ ) y $\lfloor a/p\rfloor>1$
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La finitud de las soluciones no se conoce ni siquiera cuando $a=n$ aunque esto se deduce de la conjetura abc (véase la conjetura de Brocard).
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No entiendo la notación. ¿Podría aclararlo? En particular, ¿qué pasa con $x$ ? ¿Está cuantificado existencialmente?
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@gobli: Significa: Encontrar enteros positivos $a,n$ tal que $a!+\dfrac{n!}{a!}$ es el cuadrado de un número entero. Hay que reconocer que la notación es bastante descuidada.