Relación entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie

Question

Estoy un poco confundido sobre cómo calcular en general el álgebra de Lie de un grupo de Lie y viceversa, es decir, los grupos de Lie (hasta el difeomorfismo) que tienen una determinada álgebra de Lie.

La forma en que hice esto para los grupos clásicos como $O(n)$ o $SL_n(\mathbb{R})$ fue expresarlas como fibras sobre un valor regular de un mapa suave y luego calcular explícitamente el espacio tangente en la identidad como el núcleo de la diferencial. Sin embargo, este método sólo funciona en casos muy concretos.

1. ¿Cómo se puede, por ejemplo, calcular el álgebra de Lie del grupo $SO(2) \bar{\times} \mathbb{R}^4$ (por $\bar{\times}$ Me refiero al producto semidirecto).
2. Qué grupos de Lie conectados hasta el difeomorfismo tienen la siguiente álgebra de Lie

$$\left\{\left(\begin{array}{ccc} x & y & w \\ z & -x & v \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \qquad x,y,z,v,w\in \mathbb{R}\right\}?$$

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

1 fue respondida por un comentario a su pregunta.

En cuanto a la 2, dejemos $W=\{(a,b,c)\in \mathbb R^3| c=0\}$ y que $G$ sea el conjunto de elementos $g\in GL_3(\mathbb R)$ tal que (1) $g$ deja $W$ invariante ( $gW=W$ ), (2) la acción inducida sobre $W$ satisface $det=1$ y (3) la acción inducida sobre $\mathbb R^3/W$ es trivial (la identidad). De esta definición se deduce que $G$ es un subgrupo de $GL_3(\mathbb R)$ y un simple cálculo muestra que $$G=\left\{\left(\begin{array}{ccc} a & b & e \\ c & d & f \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) | \quad a,b,c,d,e,f\in \mathbb{R}, \quad ad-bc=1\right\}.$$ Ahora se puede comprobar que el álgebra de Lie de $G$ consiste en las matrices que has indicado.

Por supuesto, hay otras respuestas, como la $G$ arriba no está simplemente conectada.