Prueba de la unicidad de toda la combinación de los dígitos de $2^k$, donde k > 3

Question

Hace tiempo encontré una pregunta en internet que fue un poco como esto:

Supongamos que tenemos $n=2^k$ donde $k\gt 3$. Si es otro número que es una combinación de los dígitos de $m$ $2^k$ demostrar que $m$ no puede ser una potencia de $2$.

Me dio para arriba en él un hace mucho tiempo, pero ahora se convierten en interesados en teoría del número y espero que alguien podría arrojar algo de luz sobre este problema.

Edit: Esto solo es para base 10.

Answer 1

Suponiendo que te refieres a barajar cifras alrededor (en la base $10$)

Para el caso donde no poner ceros en la parte frontal:

Nos fijamos en el resto cuando dividen por $9$.

Si es divisible por $2^m = 2^n$ $9$ modulo $m-n$, entonces el $6$. En este caso, tienen diferente número de dígitos.