Hasta ahora, yo pensaba que la sustitución de una ecuación en sí mismo sería $always$ rendimiento $0=0$. A lo que me refiero es por ejemplo si tengo $3x+4y=5$, Si yo sustituto $y=\dfrac {5-3x}{4}$, que eventualmente terminan con $0=0$. Sin embargo, considere la ecuación de $\large{\sqrt {x+1}+\sqrt{x+2}=1}$ . Si multiplicamos por el conjugado, obtenemos $\dfrac {-1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}=1$ o $\large{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}=1}$. Ahora podemos establecer esta ecuación equivalente a la original, por lo $\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}=\sqrt {x+1}+\sqrt{x+2}$ , y consigue $0=2 \sqrt{x+1}$, con lo cual se simplifica a $x=-1$ , que en realidad es una solución válida para el original! Entonces, ¿por qué no estoy recibiendo $0=0$ , pero estoy actaully obtener información útil de este? Hay algo intrínsecamente malo en esto? Gracias.
Respuestas
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Usted en realidad no sustituir a cualquier cosa (es decir, una solución para $x$) en la ecuación original; si quisiera hacer que el $x$ desaparecería. En lugar usted combina la ecuación con una forma modificada de la misma para obtener una nueva ecuación que está implícita en el original; la nueva ecuación se puede o no se han conservado toda la información de la original. Como sucede con la nueva ecuación tiene una única solución y además se resuelve la ecuación original; esto muestra la nueva ecuación implica que la original, y de hecho, no se pierda ninguna información.
Si usted considera que la operación de añadir un múltiplo de una ecuación a sí mismo, usted puede ver lo que puede suceder: en la mayoría de los casos se puede conseguir algo equivalente a la ecuación original, pero si las múltiples pasó a ser un factor de$~-1$, entonces se queda con $0=0$ y ha perdido (en este caso todos) información contenida en la ecuación.
Una ecuación se simplifica a la tautología $0=0$ sólo si la ecuación es verdadera para todos los valores de sus variables. Esto sucede en el primer caso, porque se les va:
Esta ecuación será verdadera si y sólo si $y$ es igual a este, y no importa lo $x$ es. Así que ahora, si $y$ es igual a, la ecuación es verdadera?
Y la respuesta es, por supuesto: sí, no importa lo $x$ es.
La pregunta es entonces: ¿por qué su segundo manipulación no es resultado de algo que es verdadero para cada valor de $x$?
Empezar con
$$\sqrt {x+1}+\sqrt{x+2}=1$$
Paso 1: multiplicar por el conjugado para obtener
$$(\sqrt {x+1}-\sqrt{x+2})(\sqrt {x+1}+\sqrt{x+2})=\sqrt {x+1}-\sqrt{x+2}$$ $$(x+1)-(x+2)=\sqrt {x+1}-\sqrt{x+2}$$ $$-1=\sqrt {x+1}-\sqrt{x+2}$$ $$1=\sqrt{x+2}-\sqrt {x+1}$$
La observación de que puede establecer esta igual a la original, de expresión, de hacerlo (Paso 2), y se sorprendió a obtener algo que no es una tautología, es decir, no es cierto para todos los $x$.
Pero mira más de cerca lo que sucede en el paso 1. ¿Por qué se termina con ese $1$ en el lado izquierdo? Simplemente porque la $2$ e las $1$ en la expresión original pasó a producir un 1. Esta fue una coincidencia. Tenía el original de la ecuación de estado:
$$\sqrt {x+5}+\sqrt{x+2}=1$$
Esto no hubiera pasado, y no han sido capaces de establecer el resultado igual a la expresión original. En otras palabras, el paso 2 no era algo en lo que han trabajado para todos los $x$. Sólo funcionó para este caso en particular, para $x$ la solución de esta ecuación. Por lo tanto, todo lo deducido a partir del paso 2 son ecuaciones equivalentes a la original, no tautologous, ecuación. En particular, le ha ocurrido a obtener una ecuación equivalente que hizo una de las soluciones obvias.
Otra manera de ver esto es que su solución supuso la constatación de que cualquier expresión radical de satisfacer su ecuación debe ser igual a su conjugado. Luego explotado ese hecho, que no es del todo cierto en general, para obtener la solución.
Yo iba a comentar pero lo tengo muy largo.
En el segundo procedimiento, que no sustituye a la inversa en el original. (Veo lo que quieres decir con que esperan $0=0$ aquí, en el sentido de que $f(f^{-1}(x))=x$, de modo que uno puede restar y obtenga $0=0$)
En su lugar se llevó a cabo una válida re-escritura de la izquierda multiplicando arriba y abajo por el conjugado de la expresión, que sólo significa el lado izquierdo se multiplica por 1, no se puede cambiar. Asumiendo que la cantidad dada por el conjugado no es cero (ACEPTAR en su caso) este paso es perfectamente válido, y dado que la ecuación original no ha cambiado la resultante transformado la ecuación debe tener exactamente la misma solución(s) que el original.
Así que por este tipo de proceso debe esperar a que las soluciones de la ecuación transformada, si el original tiene soluciones.
Observe la primera ecuación tiene dos variables, mientras que la segunda ecuación tiene una variable. La sustitución realizada no era un auténtico intercambio de variables; la ecuación obtenida es esencialmente $$\dfrac {\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=\dfrac {{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2})}^2}{1}$ $
para que tengamos $\dfrac {1}{1}=1$, así obtener 0 = 0.
Como un bono, si en el proceso usted algo había dividido por una expresión que se evalúa como cero, no puede resultar una situación solución. Al parecer Einstein ha hecho :)
