Tengo un problema de teoría de números muy interesante. Sea $$ S_n $$ sea un número formado únicamente por $$n$$ los. Por ejemplo, $$S_1=1\\S_2=11 \\ S_4=1111$$ El problema consiste en demostrar que la suma de los dígitos de $$S^2_n$$ puede calcularse mediante la fórmula $$81\cdot \left( \left\lfloor \frac{n}{9} \right\rfloor + \left( \frac{n}{9} - \left\lfloor \frac{n}{9} \right\rfloor \right)^2 \right)$$
Estaría muy agradecido por la ayuda. No sé ni cómo empezar...
¡Un bonito problema!
Pistas:
Pero otro enfoque puede conducir a una solución más limpia. Primero traté de calcular el total de la carga...
@Aryabhata: No. El término medio es divisible por $10^{2n+9}$ y, por tanto, es `seguramente' mayor que $10^9S_n^2$ . El último término afecta al dígito no nulo menos significativo de $10^9S_n^2$ pero el efecto es fácil de analizar.
También es posible hacerlo demostrando que la diferencia entre la suma de los dígitos de $S_{n+1}^2$ y $S_n^2$ es igual a $2(n \mod 9) + 1$ . Veo que es así, pero no puedo demostrarlo formalmente. Tal vez alguien quiera llenar el vacío de mi solución :-) y luego sumar las diferencias de $S_0^2$ a $S_n^2$
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@xan: Puede que mi respuesta contenga demasiadas pistas, lo siento. Antes de estudiarla, por favor, intenta lo siguiente: compara, por ejemplo, los pares $S_{14}^2$ contra. $S_5^2$ y $S_{16}^2$ contra. $S_7^2$ con la ayuda de un ordenador (o Wolfram Alpha). Genera más pares de este tipo y...
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@Jyrki Lahtonen no hay problema. No soy tan listo como me gustaría y todavía me resulta muy difícil. Muchas gracias por las pistas, voy a estudiarlas mucho en un futuro próximo pero no excluyo la opción, tendré que preguntar algo. Las identidades en 2 y 4 definitivamente no son triviales para mí. Perdón por mi inglés, todavía estoy trabajando en ello.
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@xan: Mi pista #4 es realmente una traducción del patrón que se ve, cuando se compara, por ejemplo $S_6^2$ a $S_{15}^2$ y deslice las primeras 9 posiciones hacia la izquierda. Me ha sorprendido un poco que hayas aceptado mi respuesta, porque más bien sospecho que hay una solución más fácil de seguir :-) ¿Una que venga la multiplicación de la escuela primaria o algo así?
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En primer lugar he intentado la multiplicación de la escuela primaria, pero era difícil con los cálculos y pensé que esta manera no me llevará a resolver este problema y sólo me frustrará.