¿Cómo uno para visualizar una función con un segundo derivado discontinuo?

Question

Supongamos que todas las funciones son continuas. Yo estaba enseñando mi cálculo estudiantes el otro día. Estábamos hablando acerca de lo que los puntos de no-la diferenciabilidad aspecto. Dos maneras en que una función puede no ser diferenciable en un punto es si se parece a $y=|x|$ o como un movimiento Browniano (creo que de $x\sin x$, por ejemplo), donde la derivada oscila demasiado. Sin embargo, no tengo una intuición acerca de las $C^1$ funciones y cómo se diferencian de las $C^i$ funciones para mayor $i$. Un ejemplo que conozco es la función de $$f(x)=x^2,x\geq 0\mbox{ and }f(x)=-x^2,x\leq 0.$$ La gráfica de esta realidad se ve suave para mí. Así que la pregunta se reformula puede ser:

cómo puede uno visualmente decir la diferencia entre el $C^1$ funciones y $C^2$ funciones en un recto camino.

Aunque esto es para los universitarios, no me importaría más avanzados de respuesta.

Answer 1

Va a ser difícil de distinguir $C^1$ $C^2$ funciones visuales en general. Un pensamiento es que si $f'$ es continua mientras que $f''$ tiene un punto de discontinuidad, a continuación, la firma del radio de curvatura tendrá así también, la firma del radio de curvatura de ser $$ R=\frac{\left(1+f'(x)^2\right)^{3/2}}{f"(x)} $$ donde normalmente se $|R|$ se conoce como el radio de curvatura. En tu ejemplo esta firmado el radio de curvatura saltos de$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$, lo que muestra que el centro de la osculating círculo saltos de$(0,-0.5)$$(0,+0.5)$$x=0$:

Para $g(x)=x^3$ ocurre algo diferente. A pesar de que el radio de curvatura cambia de signo en $x=0$ que cambios a través de los límites de $-\infty$ $+\infty$ desde $g''(x)=0$. En general, un $C^2$ curva tiene a 'corregir cualquier curvatura' antes de curvatura en una dirección diferente.

También los cambios repentinos en la curvatura no se permitirá, como por ejemplo la curva de $h(x)=x^4$ $x<0$ $h(x)=x^2$ $x\geq 0$ ha $h''(x)=12x^2$$x<0$$h''(x)=2$$x>0$, de modo que $h''(x)$ tiene la ambigüedad de la elección entre el valor de$0$$2$$x=0$.

Sin embargo, este es un muy sutil de la propiedad cuando se mira en las curvas.